Linealmente dependiente o linealmente independiente
Pruebe si el conjunto de polinomios 2x,x3-3,1+x-4x3,x3+18x-9 en P3 es linealmente dependiente o independiente.
No entiendo como saberlo, ya que nunca me habían dado algo así, me ponían los vectores ya definidos. Espero pueda ayudarme :) Gracias.
1 Respuesta
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente cuando existe una combinación lineal de ellos igual al vector nulo con algún escalar distinto de cero. Es decir
Si el conjunto de vectores es {u1, u2, ... un} existen escalares del cuerpo {a1, a2,... an} con algún ai distinto de cero tal que
a1·u1 + a2·u2 + ... + an·un = 0
Para hacerlo más claro llamaremos a, b, c y d a los escalares de la combinación lineal
a·2x + b(x^3-3) + c(1+x-4x^3) + d(x^3+18x-9) = 0
Agrupamos términos y en el otro lado voy a poner el vector nulo de P3 con todas sus componentes
(b-4c+d)x^3 + (2a+c+18d)x + (-3b+c-9d) = 0x^3 + 0x^2 + 0x + 0
Para que se dé la igualdad deben ser igual todos los coeficientes
b-4c+d = 0
2a+c+18d = 0
-3b+c-9d = 0
Es un sistema de de 3 ecuaciones con 4 incógnitas vamos a ver si tiene soluciones distintas de la (0,0,0,0). Pondré primera la segunda
2 0 1 18 | 0 2 0 1 18 | 0 0 1 -4 1 | 0 ~ 0 1 -4 1 | 0 0 -3 1 -9 | 0 0 0 -11 -6 | 0
demos un valor cualquiera a d distinto de 0, por ejemplo 1. Pasando esos coeficientes ahora constantes a la derecha tendremos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que será este
2 0 1 |-18 0 1 -4 | -1 0 0 -11| 6
Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y determinante -22, luego tiene solución única.
No es necesario resolverlo, aunque su solución fuese (0,0,0) (que por cierto no lo es) tenemos que la d es distinta de cero.
Luego existen escalares a, b, c, d con alguno distinto de cero tal que la combinación lineal es el vector nulo. Luego es un conjunto de vectores linealmente dependientes.
Y eso es todo.
