Áreas polares
Cómo puedo determinar entre que ángulos debo calcular el área de r=2sen3@. Agradezco tu ayuda
Respuesta de renefranco
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Primero vemos que el dominio de la función esta dado desde menos infinito hasta infinito pero por simetría la estudiaremos de 0º a 360º para empezar.
@ r
0º 0
10º 1
. > 0
. > 0
. > 0
60º 0
Y vemos que esta variación del radio de 0 para volver a 0 va una y otra vez, en intervalos de 60º a 120º, 120º a 180º, 180º a 240º, 240º a 300º y 300º a 360º, todos intervalos donde siempre se hacen ceros el seno en los limites, y si la gráficas te darás cuenta que son figuras simétricas, entonces los ángulos pueden ser de 0º a 60º o lo que es lo mismo de 0 a pi/3 (pi tercio)
@ r
0º 0
10º 1
. > 0
. > 0
. > 0
60º 0
Y vemos que esta variación del radio de 0 para volver a 0 va una y otra vez, en intervalos de 60º a 120º, 120º a 180º, 180º a 240º, 240º a 300º y 300º a 360º, todos intervalos donde siempre se hacen ceros el seno en los limites, y si la gráficas te darás cuenta que son figuras simétricas, entonces los ángulos pueden ser de 0º a 60º o lo que es lo mismo de 0 a pi/3 (pi tercio)
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Respuesta
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r= 2sen3x
supongo que te refieres en qué intervalos se repite la función r.
Si hacemos y = 3x
y r' = r/2
==> r' = sen y
r' se repite cada intervalo de 2PI en y, lo que implica
==>
y = 2PI = 3x ==> x = 2PI/3
==> r' se repite cada 2PI/3 en x, es decir:
r'(x+2PI/3) = r'(x)
pero r' = 2r
==>
2r(x+2PI/3) = 2r(x)
r(x+2PI/3) = r(x)
==> r se repite cada 2PI/3
Luego basta tomar cualquier intervalo [x, x+2PI/3], por ejemplo x = 0, [0,2PI/3]
En general r = Asen(fx) se repite cada T = 1/f, y se tomará como intervalo [0,1/f]
DM
supongo que te refieres en qué intervalos se repite la función r.
Si hacemos y = 3x
y r' = r/2
==> r' = sen y
r' se repite cada intervalo de 2PI en y, lo que implica
==>
y = 2PI = 3x ==> x = 2PI/3
==> r' se repite cada 2PI/3 en x, es decir:
r'(x+2PI/3) = r'(x)
pero r' = 2r
==>
2r(x+2PI/3) = 2r(x)
r(x+2PI/3) = r(x)
==> r se repite cada 2PI/3
Luego basta tomar cualquier intervalo [x, x+2PI/3], por ejemplo x = 0, [0,2PI/3]
En general r = Asen(fx) se repite cada T = 1/f, y se tomará como intervalo [0,1/f]
DM
Gracias por la respuesta, pero se me olvidó mencionar que la integral la debo calcular en sistema polar y no cartesiano, es decir, Integral(2sen3@), pero lo que no sé determinar es de que ángulo a que ángulo.
No se puede determinar de qué ángulo de a qué ángulo. A lo mejor lo que deseas es realizar la integral indefinida en coordenadas polares. Si es el área lo que quieres debes integrar r^2 (r cuadrado) respecto del ángulo @.
DM
DM
En un libro aparece el sigte. Ejercicio: hallar el área de un pétalo de la rosa r=3cos3@. Solución: A=(1/2)*integral(3cos3@), desde -pi/6 a pi/6. lo que no entiendo es de dónde sale -pi/6 a pi/6, porque la integral indefinida la puedo calcular. Resp.del libro : A= 3pi/4.
Con funciones periódicas la integral no depende de los límites de integración, sólo de la anchura del intervalo de integración. En este caso, la flor completa son 2PI. Un pétalo serán 2PI/3, porque tiene tres. Por eso coge -PI/6 y +PI/6, porque su diferencia son los 2PI/3. El 1/2 es debido a que estamos calculando el área con coordenadas polares y el área de un sector circular de ángulo d@ son 1/2r^2d@. Por eso, me parece que se debería integrar r^2 y no r: Es decir, el resultado es:
(1/2)Integral(9cos^2(3@)) desde -PI/6 a PI/6
(o 0 y 2PI/3)
DM
(1/2)Integral(9cos^2(3@)) desde -PI/6 a PI/6
(o 0 y 2PI/3)
DM