Área de curva polar
Hola. En un libro aparece el sigte. Ejercicio: hallar el área de un pétalo de la rosa r=3cos3@. Solución: A=(1/2)*integral(3cos3@), desde -pi/6 a pi/6, = 3pi/4. Lo que no entiendo es de dónde sale -pi/6 a pi/6. Agradezco su ayuda.
1 respuesta
Respuesta de mikel1970
1
Es una integral de área en coordenadas polares.
Antes de meternos con ella, repasemos un poco las integrales de área en coordenadas cartesianas, para que veas el mismo concepto.
Si queremos el área formada por la curva
y=y(x)=1-x^2
Con el eje POR, lo primero que haremos será dibujar la curva.
En este caso es una parábola con las ramas hacia abajo y que corta al eje por en los puntos (-1,0) y (1,0)
En tal caso, una vez identificada la región, el área no es más que la integral definida
S= Int[y(x)*dx]=Int[(1-x^2)*dx]
siendo los límites de integración los cortes con el eje, es decir x=-1 y x=1
En el caso de coordenadas polares, el área cambia un poco y es
S= (1/2)*Int[r(@)*d@]
Para calcular los límites de integración, tartamos de dibujar la función.
Aunque se puede hacer un estudio completo, similar al de coordenadas cartesianas ( dominio, simetrías, asíntotas...), lo haremos un poco a ojo, dando valores
r=3*cos3@
Empezaremos dando valores de 0 a 30º (Pi/6)
@...r
-------
0... 3
10...2.6
20...1.5
30... 0
Lo que se forma es una especie de curva (medio pétalo) entre el punto (3,0) y (0,0) por encima del eje POR (1º cuadrante)
Si ahora seguimos dando valores entre 30º y 90º
@...r
-------
30... 0
45...-2.12
60...-3
75...-2.12
90... 0
Y esto hace un pétalo completo ( sale del origen y vuelve), pero con r negativo. Esto lo hace en el 3º cuadrante
Es decir, cada vez que salimos del origen y volvemos a él completamos un pétalo.
Hasta ahora llevamos un pétalo y medio.
Si calculamos los puntos en que pasa por el origen, sabremos entre que ángulos están los pétalos
r=0
3*cos(3@)=0
cos(3@)=0
que nos dan las siguientes soluciones de 0º hasta 360º para @
3@=90º-->@=30º
3@=270º-->@=90º
3@=450º-->@=150º
3@=630º-->@=210º
3@=810º-->@=270º
3@=990º-->@=330º
( si continuamos ya nos salimos de rango: 3@=1160º-->@=390º=30º)
luego existen 6 pétalos
@=30º-->90º
@=90º-->150º
@=150º-->210º
@=210º-->270º
@=270º-->330º
@=330º-->30º
Los seis son iguales, y puedes coger como límites cualquiera de ellos.
En tu caso, has cogido el último pétalo ( cuya primera mitad habíamos dibujado de 0º a 30º)
Pero como 330º=330-360=-30º=-Pi/6
finalmente coges como límites
@=-Pi/6-->Pi/6
Antes de meternos con ella, repasemos un poco las integrales de área en coordenadas cartesianas, para que veas el mismo concepto.
Si queremos el área formada por la curva
y=y(x)=1-x^2
Con el eje POR, lo primero que haremos será dibujar la curva.
En este caso es una parábola con las ramas hacia abajo y que corta al eje por en los puntos (-1,0) y (1,0)
En tal caso, una vez identificada la región, el área no es más que la integral definida
S= Int[y(x)*dx]=Int[(1-x^2)*dx]
siendo los límites de integración los cortes con el eje, es decir x=-1 y x=1
En el caso de coordenadas polares, el área cambia un poco y es
S= (1/2)*Int[r(@)*d@]
Para calcular los límites de integración, tartamos de dibujar la función.
Aunque se puede hacer un estudio completo, similar al de coordenadas cartesianas ( dominio, simetrías, asíntotas...), lo haremos un poco a ojo, dando valores
r=3*cos3@
Empezaremos dando valores de 0 a 30º (Pi/6)
@...r
-------
0... 3
10...2.6
20...1.5
30... 0
Lo que se forma es una especie de curva (medio pétalo) entre el punto (3,0) y (0,0) por encima del eje POR (1º cuadrante)
Si ahora seguimos dando valores entre 30º y 90º
@...r
-------
30... 0
45...-2.12
60...-3
75...-2.12
90... 0
Y esto hace un pétalo completo ( sale del origen y vuelve), pero con r negativo. Esto lo hace en el 3º cuadrante
Es decir, cada vez que salimos del origen y volvemos a él completamos un pétalo.
Hasta ahora llevamos un pétalo y medio.
Si calculamos los puntos en que pasa por el origen, sabremos entre que ángulos están los pétalos
r=0
3*cos(3@)=0
cos(3@)=0
que nos dan las siguientes soluciones de 0º hasta 360º para @
3@=90º-->@=30º
3@=270º-->@=90º
3@=450º-->@=150º
3@=630º-->@=210º
3@=810º-->@=270º
3@=990º-->@=330º
( si continuamos ya nos salimos de rango: 3@=1160º-->@=390º=30º)
luego existen 6 pétalos
@=30º-->90º
@=90º-->150º
@=150º-->210º
@=210º-->270º
@=270º-->330º
@=330º-->30º
Los seis son iguales, y puedes coger como límites cualquiera de ellos.
En tu caso, has cogido el último pétalo ( cuya primera mitad habíamos dibujado de 0º a 30º)
Pero como 330º=330-360=-30º=-Pi/6
finalmente coges como límites
@=-Pi/6-->Pi/6
