Ecuación Diferencial Exacta Ej2

Derivamos lo primero respecto y

-Senx·cosy

Y lo segundo respecto equis

-Senx·cosy

Si, es una ecuación diferencial exacta

1) Integramos una parte respecto de si mismo, esta vez mejor integrar la parte derecha. Ponemos g como función de la otra variable

$cosx·cosy dy = cosx·seny + g(×)

2) Derivamos respecto la variable que hay en la función e igualamos al otro miembro. Esta vez damos dos pasos de la vez anterior en uno.

-senx·seny +g'(×) = tgx - senx·seny

4)  Despejamos la función g'

g'(×) = tg(×)

5) Integramos g' respecto su variable.  La integración no es difícil en este caso

g(×) = $tg× dx = $senx/cosx dx =-ln(cosx) +C

6) Este valor de g lo llevamos a donde teníamos g en el paso. La constante al otro lado.

cosx·seny - ln(cosx) = C

Y esa es la solución general. Si se quiere puede despejarse

y = arcsen[(C-ln(cosx))/cosx]

Y eso es todo.