Integral Definida. Matemáticas muy avanzadas

Ya te decía en la pregunta anterior que el signo se obtiene con \int

En estas veo alguna más complicada.

Lo primero es decirte que la fórmula

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

Es válida también para cualquier de n de los números reales salvo para n=-1.

Cuando tenemos x^(-1) o escrito de la forma habitual 1/x la integral es el logaritmo neperiano. Te recuerdo también que podemos sacar las constantes que multiplican a todo fuera de la integral.

a)

$$\int \frac{dx}{3x}= \frac 13\int \frac{dx}{x}= \frac 13 lnx + C$$

b) Se usa la fórmula que te decía antes, teniendo en cuenta que la raíz cuadrada de algo es ese algo elevado a la 1/2

$$\begin{align}&\int \sqrt x dx = \int x^{\frac 12}dx = \frac{x^{\frac 12 +1}}{\frac 12+1}=\\ &\\ &\frac{x^{\frac 32}}{\frac 32}= \frac{2x^{\frac 32}}{3}+C\\ &\\ &\\ &\text {que si quieres puedes escribir como}\\ &\\ &\frac{2 \sqrt{x^3}}{3}+ C \quad ó \quad \frac{2x \sqrt x}{3}+C\end{align}$$

c) En este podrías sacar fuera el 5 y luego integrar x^4. Pero si tienes un poco de ojo no es necesario, ya se ve que derivando x^5 da 5x^4, luego la integral es

x^5+C

d) Aquí lo que vamos a hacer es efectuar el producto y v a quedar un polinomio sencillo de integrar.

$$\begin{align}&\int x^2(x-5)dx = \int (x^3-5x)dx=\\ &\\ &\frac{x^4}{4}-\frac{5x^2}{2}+C\end{align}$$

e) La integral de una constante también sale de la fórmula que decía al principio, pero es más fácil recordando que la integral de una constante el la constante multiplicada por x, luego la integral es

6x+C

Y eso es todo.