Espera que es importante tener clara la función y saber si es la función de distribución o la de densidad. Es muy distinto y normalmente la de densidad se escribe f(x) y la de distribución F(x) por eso me queda la duda y te pido que lo revises.
Y dime si es esta esa función porque además me aparece cortada. Y esto es muy importante porque una función distinta de la preparada te puede volver loco a la hora de hacer una integral.
$$f(x)=te^{-t(x-t)}$$
Y luego no entiendo esto que pones, dilo con otras palabras
f(x)=te^((-t)(x-t)) , X=t, con t, t>0
Y al final pones
Si t es conocido, ¿el estimador de máxima verosimilitud para t es?
Supongo que quieres decir si t es desconocido
Por favor revisa todo el problema. Si lo tienes escrito en un libro escríbelo igual y si hay algo que no está claro de lo que te dije intenta explicármelo. Si el problema sale en un libro más o menos famoso dime cuál es.