Prueba sobre convergencia
Demuestre que cualquier conjunto S no vacío acotado superiormente tiene un supremo, que se construye de la siguiente manera: se eligen
$$x_{0} \in S \,\, y \,\, M_{0}$$una cota superior y se define
$$a_{0}=(x_{0}+ M_{0})/2;\,\, si \,\, a_{0}$$es una cota superior, sean
$$M_{1}=a_{0} \,\,y \,\, x_{1}=x_{0};$$de lo contrario, sean
$$M_{1}=M_{0} \,\, y \,\, x_{1}>a_{0} \,\, tal \,\, que \,\,x_{1} \in S,$$y se repite el procedimiento para generar las sucesiones
$$x_{n} \,\, y \,\, M_{n}.$$Pruébese que ambos convergen al
$$sup(S).$$
1 Respuesta
Creo que debe haber algún fallo en el enunciado, porque respetando el método que describes se pueden construir sucesiones xn, Mn que no convergen al supremo.
Sea A={x € R | x<=10}
x0=1; M0=11; a0=6
Como a0 no es cota superior se toma
M1=11
y x1 algo mayor que a0=1, tomo
x1=3/2
Entonces a2= (3/2 +11)/2 = 25/4 que no es cota superior
tomo M2 = 11
x2=7/4
Entonces a3 = (7/4+11)/2 = 51/8 que no es cota superior
Tomo M3= 11
x3=15/8
Entonces a4 = (15/8 + 11)/2 = 103/16 que no es cota superior
M4=11
x4=31/16
Y así hasta el infinito
La sucesión xn converge a 2 y la Mn es constante 11
Por eso la sucesión an es creciente pero esa acotada por 6.5 con lo que siempre se usará este método y podemos hacer que no converjan al supremo.
Luego el método debe ser mejorado para asegurar lo que dice.
Y eso es todo.
hola valeroasm
he revisado el enunciado y esta escrito correctamente como lo escribí asi que no se que es lo que pueda estar fallando usted no sabría que hay que modificar para que eso sea cierto???
de antemano muchas gracias
hola valeroasm
hay algo q en el inicio porque habías dicho que a0 = 6
y después dices que a0 = 1 m
me podrías explicar porque pasa eso por favor
Si, me lié y me equivoqué con los a y los x. En efecto, había que tomar un x1 mayor a0 y yo lo tome simplemente mayor que x0. Luego x1 debía ser mayor que 6.
Pues entonces es seguro que esté bien el enunciado, pero ahora no puedo demostrarlo, tengo mucho trabajo pendiente.
$$\begin{align}&a_i=\frac{x_i+M_i}{2}\\ &\\ &\\ &Si\;a_i\text{ es cota superior}\\ &\\ &x_{i+1}=x_i; \;\;\;M_{i+1}=\frac{x_i+M_i}{2}\\ &\\ &\text {si no lo es}\\ &\\ &x_{i+1}\in S \gt \frac{x_{i}+M_i}{2};\;\;\;\;M_{i+1}=M_i\\ &\\ &\text {En caulquiera de los dos casos}\\ &\\ &M_{i+1}-x_{i+1}= \frac{M_i+x_i}{2}-x_i=\frac{M_i-x_i}{2}\\ &\\ &\\ &M_{i+1}-x_{i+1} \lt M_i-\frac{M_i+x_i}{2}=\frac{Mi-x_i}{2}\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Luego la diferencia entre elementos correspondientes de las dos sucesiones se divide al menos por la mitad en cada paso. Como la diferencia inicial es finita
Mo-xo = d0
dn<= d0/(2^n)
Dado cualquier epsilon mayor que cero existe un n tal que dn < epsilon para todo k >n
Luego la sucesión es de Cauchy y por ser los números reales es convergente y el límite es cero.
La sucesión Mn es siempre >= que el supremo por ser cotas superiores y la Xn es <= que el supremo por construcción. Y ambas sucesiones convergen al mismo número porque la diferencia entre ambas tiende a cero luego ese número es el supremo por el teorema del emparedado.
Y eso es todo.
