Integral en serie de fourier
Hola, a ver si me puedes ayudar con esta duda:
Estoy haciendo ejercicios sobre series de fourier y para sacar a(n) me he encontrado con esta integral.
El caso es que imagino que se resuelve por partes pero en el ejemplo que tengo aplica esa formulita que saca de algunas tablas.
Yo nunca había visto antes tablas que resolvieran exponenciales asi, podrías explicarme un poco y de paso decirme si existen mas formulitas como esta asi abreviadas para resolver integrales? Si puedes ponme algún link de internet porque yo no he sido capaz de encontrar tablas de este tipo.
Si realizo la integral por partes me debería salir el mismo resultado que con la formula de la tabla?
Por cierto, no se ve bien, pero la integral esta definida (0<x<1) y la exponencial elevada a (-t).
Gracias anticipadas.
1 Respuesta
No sabía yo que hubiera tablas tan especializadas. Cuando yo estudie no había internet y no aparecían en mis libros ni me las dijeron.
Pero aquí tienes una lista no solo de exponenciales sino de otras
<a>http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Integrales</a>
Te puede vernir muy bien para resolver alguna directamente o comprobar si lo hiciste bien.
Y claro, esa integral tiene todas las pìntas de que se resuelve por partes, aplicandolo dos veces. Ya que la u es la letra que se usa para uno de los factores donde en la tabla pone u pondré x
$$\begin{align}&I=\int e^{ax}\cos bx dx=\\ &u = e^{ax} \implies du= ae^{ax}dx\\ &dv= \cos bx dx \implies v=\frac{sen bx}{b}\\ &\\ &\\ &=\frac{e^{ax}sen bx}{b}-\frac ab \int e^{ax}sen bx dx=\\ &u = e^{ax} \implies du= ae^{ax}dx\\ &dv=senbx dx \implies v = -\frac{cosbx}{b}\\ &\\ &\\ &\\ &=\frac{e^{ax}sen bx}{b}+\frac {ae^{ax}\cos bx}{b^2}-\frac {a^2}{b^2} \int e^{ax}\cos bx dx\\ &\\ &\\ &\text {Aparece la integral incial, luego:}\\ &\\ &\\ & I =\frac{e^{ax}sen bx}{b}+\frac {ae^{ax}\cos bx}{b^2}-\frac {a^2}{b^2}I\\ &\\ &\left(1+\frac{a^2}{b^2}\right)I = \frac{e^{ax}sen bx}{b}+\frac {ae^{ax}\cos bx}{b^2}\\ &\\ &\\ &I =\frac{\frac{e^{ax}sen bx}{b}+\frac {ae^{ax}\cos bx}{b^2}}{\frac{b^2+a^2}{b^2}}\\ &\\ &I =\frac{e^{ax}}{b^2+ a^2}(bsenbx+acos bx)\end{align}$$Luego es verdad lo que nos decían.
Y eso es todo.
