Ayuda a deducir una función exponencial a partir de una gráfica

Lo que tienes que hacer es conseguir tres puntos de la gráfica, puesto que vas a tener tres incógnitas.

Si me dices que el punto (2, 3) pertenece a la gráfica tendrás la primera ecuación

3 = a^(2+b) + c

Y se necesitan dos puntos más para hacer otras dos ecuaciones.

Y no van a ser ecuaciones lineales, asi que puede ser más complicado resolverlas. Si no puedes resolverlo, mándame esos otros dos puntos y veré como se resuelve porque no recuerdo haber hecho nunca este problema y no sé si será fácil.

Muchas gracias. Otros dos puntos son: (1,6) y (6,2)

Las ecuaciones son

3 = a^(2+b)+c

6 = a^(1+b)+c

2 = a^(6+b)+c

Son irresolubles si no se usan métodos avanzados de cálculo numérico

Puedes decirme los valores de la gráfica para x=0 y x=+infinito. Esto último será la tendencia en el infinito, podría ser cero si no estuviera desplazada en altura u otro valor si lo está.

Es asintótica en x=0 e y=2. .

Nosotros hemos intentado resolverlo mediante un sistema de tres incógnitas pero resulta muy difícil...

Muchísimas gracias por tu rapidez, constancia y atención,

Martí.

Espera, tal vez se pueda hacer algo

Vamos a llamar d=a^(1+b)

Con ese cambio de variable tendremos

6 = d + c

3 = da + c

2 = da^5+ c

Si restamos la segunda a la primera y tercera a la primera

3 = d- da = d(1-a)

4 = d-da^5= d(1-a^5)

Si ahora dividimos primera entre segunda

$$\begin{align}&\frac 34= \frac{1-a}{1-a^5}\\ &\\ &3-3a^5 = 4-4a\\ &\\ &3a^5-4a+1=0\\ &\\ &\end{align}$$

Se ve que a=1 cumple esa ecuación.

Pero a=1 no nos sirve, si la base es 1 toda potencia es 1 y la función seriá constante.

Aparte que la solución a=1 tampoco lo es del sistema ya que se introdujo sin darnos cuenta al hacer una división entre cero.

Hacemos la división entre x-1 para ver que otras raíces puede haber

    3  0  0  0 -4  1
1      3  3  3  3 -1  
    -----------------
    3  3  3  3 -1  0

Nos queda el polinomio

3a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 3a -1 = 0

Te pongo este enlace para que veas lo monstruoso que es resolver una ecuación de cuarto grado

<a>http://www.josechu.com/ecuaciones_polinomicas/cuartica_solucion_es.htm</a>

Luego lo vamos a resolver con un programa de ordenador llamado Máxima conmutando la salida a numérica y dando estas dos órdenes

algexact: true

algsys([3*a^4+3*a^3+3*a^2+3*a-1=0], [x]);

[[a=1.083119886064787*(-1)^0.5-0.060550380630316],

[a=-1.083119886064787*(-1)^0.5-0.060550380630316],

[a=0.25074337612532],

[a=-1.129642614864684]]

Las dos primeras son complejas, no nos sirven. Y la cuarta es negativa y la base negativa tampoco puede ser, luego la respuesta es

a=0.25074337612532

Conociendo a podemos despejar c y d en este sistema de ecuaciones

3 = da + c
2 = da^5+ c

restamos segunda a primera

1 =d(a-a^5)

d = 1/(a-a^5)

c= 3-da = 3 - 1/(1-a^4) = 1.996031393775495

El cambio de variable era

d=a^(1+b)

luego

$$\begin{align}&a^{1+b}=\frac{1}{a^5-a}\\ &\\ &\text{Tomamos logaritmos neperianos}\\ &\\ &(1+b)ln\,a= ln \left(\frac{1}{a-a^5}\right)=-ln(a-a5)\\ &\\ &\\ &b =\frac{-ln(a-a^5) }{lna}-1\approx-2.002863210966702\end{align}$$

y ya tenemos los tres valores de a,b y c.

Ahora leo la respuesta que me has mandado. Bueno ya es un poco tarde, creo que quieres decir que tiene asíntota horizontal y = 2. Eso es lo que se deduce del valor de c que es el límite cuando x tiende a infinito.

Bueno, entiendo q

Vaya, espera un momento que se mandó la respuesta sola.

Decía que entiendo que no te han dado los puntos por escrito, luego los que me has dado pueden ser algo inexactos. Y suponiendo que el problema tiene una respuesta sencilla, yo diría que la respuesta se obtiene redondeando y sería:

y =(1/4)^(x-2)+2

Veamos el valor en los tres puntos que me has dado

x=1; y=(1/4)^(-1)+2 = 4+2 = 6

x=2; y=(1/4)^(0)+2 = 1+2 = 3

x=6; y=(1/4)^(4)+2 = 1/256 + 2 = 2.00390625

Sería este último punto el que no me habrías dado exacto y por eso salían soluciones raras.

Luego la respuesta que tienes que dar es:

y =(1/4)^(x-2)+2

Pero ya ves que ha sido un proceso muy difícil y no sé si tu nivel de estudios da para esto.

Entonces vamos a resolverlo haciendo uso de lo que me dices al final de que la asíntota es 2.

Como te decía antes, la asíntota es el valor de c porque es el valor que toma una función exponencial con base < 1 cuando se tiende a +infinito. Y esta función tiene base < 1 por la forma. Cuando crecen hacia la derecha la base es >1 y cuando a la izqe Luego ya tenemos una de las tres incógnitas y además

Vaya, otra vez se mandó sola, que castigo, espera que la termine, además este último párrafo lol estaba retocando y no tiene sentido tal como está.

Como te decía antes, la asíntota es el valor de c porque es el valor que toma una función exponencial con base < 1 cuando se tiende a +infinito. Y esta función tiene base < 1 por la forma. Cuando crecen hacia la derecha la base es >1 y cuando a la izquierda es <1.

Entonces, al conocer el valor de c las incógnitas solo son dos, se necesitan dos ecuaciones y son más sencillas de resolver. Tomemos los puntos (1,6) y (2,3)

6=a^(1+b)+2

3=a^(2+b)+2

las retocamos

4=a^(1+b)

1=a^(2+b)

dividimos de lde abajo entre la de arriba

(1/4) = a^(2+b) / [a^(1+b)]= a^(2+b-1-b) = a^(1) = a

Luego mira que sencillo ha salido que a=1/4

Y ahora para despejar b vas a la primera ecuación

$$\begin{align}&4=\left(\frac 14 \right)^{1+b}= 4^{-1-b}\\ &\\ &\text{los exponentes debe ser iguales porque lo es la base}\\ &\\ &1=-1-b\\ &\\ &b= -2\end{align}$$

Luego que parecía un problema difícil se ha hecho sencillo, la respuesta es

$$y=f(x)=\left( \frac 14 \right)^{x-2}+2$$

Y para la resolución hay que usar dos puntos y la asíntota en lugar de tres puntos como decía yo al principio que lo hace prácticamente imposible de resolver.

Interesante problema, era uno que no había hecho nunca y me ha hecho pensar sobre todo en la parte cuando no conocía la asíntota.

Esta muy confusa tu pregunta, ya que no veo por ningún lado el exponente, pero b y c son fáciles de identificar en una gráfica, b es el desfase horizontal y c es el desfase vertical.

Lo siento si no estaba claro. El exponente de a es (x+b). Sé que b es el desfase horizontal y c el vertical pero no sé desde dónde se trasladó la función así que tengo tres incógnitas: a, b y c.

Sólo dispongo del gráfico y el modelo de ecuación: y=a^(x+b) + c

Muchas gracias!

Me serviria mucho que escanearas el grafico y me lo enviaras como imagen a mi correo, [email protected], asi tendria un mayor panorama, el traslado de las ecuaciones se hace desde los ejes tomando como base el origen, pero te daria mas detalle despues de observar tu grafico.