Integral por método de fracciones parciales

No es el método de fracciones parciales el método a usar en este caso, esta se descompone en un arcoseno y una raíz. Para ello hay que hacer algunos trucos para quitar la x del numerador y luego completar cuadrados, multiplicar y dividir por lo mismo, etc.

$$\begin{align}&\int \frac{10x}{\sqrt{6-4x-x^2}}dx=\\ &\\ &\int \frac{10(x+2) -20}{\sqrt{6-4x-x^2}}dx=\\ &\\ &\\ &-10\int \frac{(-x-2)dx}{\sqrt{6-4x-x^2}}-20\int \frac{dx}{\sqrt{6-4x-x^2}}=\\ &\\ &\\ &-10 \sqrt{6-4x-x^2} - 20 \int \frac{dx}{\sqrt{6-4x-x^2}}\\ &\\ &\end{align}$$

Y la integral que queda es un arcoseno o arcocoseno (que son intercambiables). Primero completamos cuadrados

-x^2-4x + 6 = -(x+2)^2 +4+6 = 10 - (x+2)^2

$$\begin{align}&- 20 \int \frac{dx}{\sqrt{6-4x-x^2}}=\\ &\\ &-20 \int \frac{dx}{\sqrt{10-(x+2)^2}}=\\ &\\ &-20 \int \frac{dx}{\sqrt{10}\sqrt{1-\left(\frac{x+2}{\sqrt {10}}\right)^2}}=\\ &\\ &t=\frac{x+2}{\sqrt{10}}\quad dt=\frac{dx}{\sqrt {10}}\\ &\\ &\\ &= -20 \int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\\ &\\ &\\ &-20 arcsen\left(\frac{x+2}{\sqrt{10}}\right)\\ &\\ &\\ &\\ &\text{Luego la integral completa es:}\\ &\\ &-10 \sqrt{-x^2-4x+6}-20 arcsen\left(\frac{x+2}{\sqrt{10}}\right)+C\end{align}$$

Y eso es todo.