Excedente función de la demanda
La función de la demanda de un producto es: P= sqrt(49-6x)
Y la función de la oferta: p= x+1
Se pide:
Determinar los excedentes del consumidor y del productor.
2 Respuestas
Para determinar los excedentes del consumidor y del productor, primero necesitamos encontrar el punto de equilibrio, donde la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida. Para ello, igualamos las dos ecuaciones y resolvemos para x:
sqrt(49 - 6x) = x + 1
Elevamos ambos lados al cuadrado:
49 - 6x = (x + 1)^2 49 - 6x = x^2 + 2x + 1 x^2 + 8x - 48 = 0 (x + 12)(x - 4) = 0
Por lo tanto, x = -12 o x = 4. Como no podemos tener una cantidad negativa de un producto, el valor aceptable de x es x = 4. Por lo tanto, en el punto de equilibrio, la cantidad es 4.
Para encontrar el precio en el punto de equilibrio, podemos usar cualquiera de las dos funciones, por ejemplo, la función de oferta:
p = x + 1 p = 4 + 1 p = 5
Por lo tanto, el precio de equilibrio es de 5.
Ahora podemos calcular los excedentes del consumidor y del productor. El excedente del consumidor es el área por debajo de la curva de demanda y por encima del precio de equilibrio. En este caso, la integral para calcular el excedente del consumidor es:
∫[0,4] sqrt(49 - 6x) dx
Esto se puede resolver utilizando una sustitución trigonométrica, pero es más fácil aproximarlo numéricamente utilizando un software o calculadora. Si aproximamos la integral, obtenemos un valor de 23.94.
El excedente del productor es el área por encima de la curva de oferta y por debajo del precio de equilibrio. En este caso, la integral para calcular el excedente del productor es:
∫[0,4] (x + 1) dx
Esto es simplemente el área de un triángulo con base 4 y altura 5 - el precio de equilibrio. Por lo tanto, el excedente del productor es:
(4 x (5 - 1)) / 2 = 8
Por lo tanto, el excedente del consumidor es de aproximadamente 23.94 y el excedente del productor es de 8.
Antes de nada recordar que en esta página no nos dejan usar la variable equis porque el p corrector la cambia por "por", así que en su lugar pondré z
Primero hallamos el punto de equilibrio que es muy necesario para las fórmulas
sqrt(49-6z) = z+1
49-6z = z^2 + 2z +1
z^2 + 8z - 48 = 0
z = [-8 +-sqrt(64+192)]/2 = [-8 +-sqrt(256)]/ 2 = (-8+-16)/2 = 4 y -12
No tiene sentido un resultado negativo para nuestro problema, luego la solución es z=4
Y siendo z = 4 tenemos p=z+1=5
Luego el punto de equilibrio es z=4 y p=5
El excedente del consumidor es la integral definida que comprende el área entre la función de la demanda y la recta horizontal que pasa por el punto de equilibrio
EC = $[sqrt(49-6z)-5]dz entre 0 y 4 =
(-1/6)(49-6z)^(3/2) - 5z entre 0 y 4 =
(-1/6)(25)^(3/2) - 20 + (1/6)(49)^(3/2) =
-125/6 -20 + 343/6 =
(218-120)/6 = 98/6
EC = 16,333...
Y el excedente del productor es la integral definida que comprende el área entre la recta horizontal que pasa por el punto de equilibrio y la función oferta
EP = $[5-(z+1)]dz entre 0 y 4 =
6z - (1/2)z^2 entre 0 y 4 = 24 - (1/2)4^2 = 16
EP = 16
Y eso es todo.
Muchas gracias me quedo claro todo, saludos.
Es cierto que hice mal las integrales, hace 4 años no había editor de ecuaciones y era más complicado hacerlas. Además entonces una vez eran puntuadas las pregunta ya no se podían modificar de ninguna manera y aun cuando más tarde me di cuenta ya no se podía hacer nada. Fue en el año 2014 cuando se modificó la estructura de la página y se pudo corregir preguntas anteriores. Comprenderás que yo con unas 4000 preguntas anuales que respondo no puedo acceder a unas 12000 que tenía contestadas, solo si se lo dice alguien puede revisar una respuesta concreta.
$$\begin{align}&EC=\int_0^4\left(\sqrt{49-6z}-5\right)dz=\\&\\&u=49-6z\\&du = -6dz\implies dz=-\frac 16\,du\\&z=0\implies u=49\\&z=4\implies u=25\\&\\&= -\frac 16\int_{49}^{25}(\sqrt u-5)du=\\&\\&-\frac 16\left[\frac 23 u^{\frac 32}-5u \right]_{49}^{25}=\\&\\&-\frac 16\left(\frac 23·25^{\frac 32 }-125-\frac 23·49^{\frac 32}+5·49 \right)=\\&\\&-\frac 16\left(\frac 23·125-125-\frac 23·343+245 \right)=\\&\\&-\frac 16\left(\frac {250-686}3+120 \right)=-\frac 16\left(\frac{-436+360}{3} \right)=\\&\\&\frac {76}{18}=\frac{38}{9}=4.2222....\\&\\&\\&\\&EP=\int_0^4(5-(z+1))dz=\int_0^4(4-z)dz=\\&\\&\left[4z - \frac{z^2}2 \right]_0^4= 16-8-0+0=8\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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