Contracción y punto fijo
Dada la función f: [0,2pi]--: [0,2pi] dará por la f(x)=(senx)/2. Probar que f: es una contracción y tiene punto fijo.
Espero me pueda ayudar, gracias de antemano. Saludos.
1 respuesta
Una función es contractiva en un dominio D si para todo x, y € D se cumple
|f(x) - f(y)| <= |x-y|
veamos que se cumple esto
| (senx) / 2 - (seny) / 2 | = (1/2) |senx - seny| =
hay una identidad triginométrica de esas menos frecuentes que dice:
sena - senb =2cos[(a+b)/2]·sen[(a-b)/2]
por lo que la igualdad continua así:
= (1/2) |2cos[(x+y)/2]·sen[(x-y)/2]| =
|cos[(x+y)/2]sen[(x-y)/2]| =
|cos[(x+y)/2]| · |sen[(x-y)/2]| <=
el módulo del coseno siempre será <=1 por eso hemos puesto el menor o igual
<= |sen[(x-y)/2]| <=
Por otra parte el arco siempre es más largo que el seno de ese arco, como puedes ver si haces el dibujo en la circunferencia unidad.
<= |(x-y)/2| =(1/2)|x-y| <= |x-y|
Luego en resumen
|(senx) / 2 - (seny) / 2| <= |x-y|
para todo x, y € [0, 2pi]
y la función f(x) = (senx)/2 es una contracción.
Por el teorema del punto fijo existe uno único que es el límite cuando n tiende a infinito de n iteraciones de la función.
Tal como decía antes el arco es siempre menor que el seno
|senx|/2 <= x/2
|sen(x/2)|/2 <= (x/2) / 2 = x/4
|sen(x/4)|/2 <= (x/4)/2 = x/8
...
Y el límite de esta sucesión es 0.
Luego el punto fijo es x=0
Y eso es todo.
