Derivada de funciones trigonométricas

Cuidado, has escrito coseno de 2x, lo que pone en el texto es coseno cuadrado de x.

Suponiendo que quisieras decir eso pero no entiendes el proceso.

Hay que saber cuál es la fórmula para derivar la función inversa, eso son cosas que hay que saber y no se pueden olvidar. Entonces tenemos:

$$\begin{align}&\left( \frac 1x \right )'=-\frac{1}{x²}\\ &\\ &\\ &\text{Eso tienes que saberlo aunque no sepas demostrarlo}\\ &\text{Y si en vez de x es una función, tendremos}\\ &\\ &\\ &\left( \frac {1}{f(x)} \right )'=-\frac{f'(x)}{[f(x)]²}\\ &\\ &\end{align}$$

Aplica eso siendo f(x) = cosx y verás como te sale.

Pudiera ser que no os hayan enseñado o no te acuerdes de la derivada de la función inversa. No importa, haz la derivada como si fuera un cociente, pero acuérdate para otras veces porque perderás mucho menos tiempo si sabes la fórmula.

Haciéndolo de esa forma aquí tendremos:

$$\begin{align}&\left(\frac fg \right)'= \frac{f'g-fg'}{g²}\\ &\\ &\\ &\left(\frac {1}{cosx} \right)'= \frac{0·cosx-1(-senx)}{\cos²x}=\frac{senx}{\cos²x}\end{align}$$

Y eso es todo.