Hallar la recta perpendicular a una recta que pase por un punto
Necesito encontrar una recta perpendicular a la recta
(x,y,z)= (-4,2,3)+k (5,-4,-2) que pase por el punto S=(3,2,1).
El resultado dado es incorrecto. La recta resultante:
(x,y,z) = (3,2,1) + k(4, -5, 0)(x,y,z) = (3,2,1) + k(4, -5, 0) no tiene punto en común con la recta dada:
(x,y,z)= (-4,2,3)+k (5,-4,-2).
Si tomamos el punto dado (3,2,1) con el punto (-4,2,3) de la recta dada formamos un vector (7, 0,-2). Este vector lo multiplicamos vectorialmente con el vector (5,-4,-2) de la recta dada y obtenemos la dirección (-2, 1, -7). Este último lo multiplicamos de nuevo vectorialmente con el vector (5,-4,-2) y obtenemos la dirección del vector paralelo al formado por el punto dado (3,2,1) y el punto (x, y, z) pie de la perpendicular sobre la recta dada. Obtenemos el vector (-10, -13, 1). La ecuación de la perpendicular que pasa por el punto (3, 2, 1) es (x, y, z) = (3, 2, 1) + t(-10, -13, 1).
Dos rectas perpendiculares deben tener un punto en común. El que el producto escalar de los vectores direccionales de dos rectas sea cero, es condición necesaria (pero no suficiente) para que las rectas en el espacio sean perpendiculares.
Efectivamente hay una infinidad de perpendiculares a la recta dada (todas las que están sobre el plano perpendicular que pasan por el punto de intersección), pero sólo una de ellas pasa por el punto exterior dado.
Otra solución, sin utilizar producto vectorial:
Encontrar una recta perpendicular a la recta (x,y,z)= (-4,2,3)+k (5,-4,-2) que pase por el punto S(3,2,1)
5(x – 3) – 4(y – 2) – 2(z – 1) = 0 es la ecuación del plano perpendicular a la recta y que pasa por el punto S(3,2,1).
Para obtener el punto de intersección del plano y la recta substituimos los valores de por, y, z.
5(– 4 + 5k – 3) – 4(2 – 4k – 2) – 2(3 – 2k – 1) = 0, de donde k = 13/15
El punto de intersección es (-4,2,3) + 13/15(5,-4,-2) = (-1/3 , - 22/15, 19/15)
El vector direccional de la recta buscada es (-1/3 , - 22/15, 19/15 ) – (3,2,1) = 1/3(-10, -13, 1)
La recta buscada es (x,y,z) = (3,2,1) + t (-10, -13, 1)
1 respuesta más de otro experto
Ya nos dan el vector de la recta que es (5,4,-2). Como estamos en el espacio, hay infinitos vectores perpediculares a él, todos los que están en el plano perpendicular.
Para encontrar alguno de ellos haremos que el producto escalar sea 0. Y eso se hace sencillamente poniendo 0 en una coordenada e intercambiando las otras dos y cambiando una de signo. Pondremos 0 en la coordenada z y haciendo lo dicho queda el vector
(4, -5, 0)
Puedes comprobar que es perpendicular
(5, 4, -2) (4, -5, 0) = 5·4 - 4·5 -2·0 = 20 - 20 = 0
Luego una de las rectas perpendiculares es
(x,y,z) = (3,2,1) + k(4, -5, 0)
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar para poder hacer futuras consultas.
Muchas gracias!! es muy clara tu explicación...estoy preparando un examen final de Álgebra y Geometría Analítica y me quedan un par de preguntas más... Qué bueno fue encontrarte!! gracias y hasta la próxima!!
Primer participación y ya te permites tremenda arrogancia...obviamente no conoces la capacidad del profe Valero, pero en fin...ilústranos por favor y dinos en que parte de la pregunta pide que la recta en cuestión tenga un punto en común con la recta dada? Ya que para que sean perpendiculares esto no es necesario (claramente en R^2 esto pasa siempre, pero como queda claro en el ejercicio del profe, en R^3 no ocurre lo mismo). - Anónimo
Definición: Dos rectas del espacio son paralelas si verifican las dos condiciones siguientes: i) Están en un mismo plano. ii) No tienen puntos en común.Definición: Dos planos son paralelos si no tienen puntos en común. Definición: Dos rectas del espacio son perpendiculares si verifican las dos condiciones siguientes: i) Están en un mismo plano. ii) Son perpendiculares en este plano. No es arrogancia, es precisión. Arrogancia es afirmar que alguien de renombre nunca se equivoca.Perdón si alguien se siente ofendido. - Kristina Yakovleva
Tu pones una definición de rectas perpendiculares (casualmente una que te conviene), pero hay otra mucho más sencilla y es que dos rectas son perpendiculares si el producto escalar es 0 y claramente eso ocurre. Así que antes de hablar de precisión asegurate de ser precisa en tu definición y no ajustarla a conveniencia (por cierto que no me ofendo por el comentario de alguien que no conozco) - Anónimo
Dos rectas perpendiculares deben formar un ángulo recto. Si las rectas no tienen punto en común, no hay vértice y, por lo mismo no forman un ángulo. El producto escalar de los vectores debe ser cero, es una condición necesaria, pero no suficiente. Yo no di una definición que me conviene, sino la definición matemática de rectas perpendiculares. Al igual que las paralelas, deben estar sobre un mismo plano. - Kristina Yakovleva
Nuevamente NO. Las rectas perpendiculares deben formar un ángulo recto en el plano, en el espacio esto no es necesario, lo que se pide es que el producto escalar sea 0 - Anónimo
Tengo que darle la razón a Kristina. Para que dos rectas sean perpendiculares deben ser coplanares, por lo que deben intersectarse en un punto. Cierto es que uno puede decir que dos rectas son perpendiculares si su producto escalar es cero, pero no es lo correcto del todo por lo que menciona Kristina. - Alejandro Salazar
Por cierto, me parece alco injusto lo que mencionaste sobre la arrogancia, y no es por estar en tu contra(que te respeto y sé que sabes muchas cosas) - Alejandro Salazar
Ale, lo siento pero insisto con mi postura respecto al producto escalar igual a 0. Si miramos la siguiente página http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/geometr1.htm (hay muchas más), no solo plantea lo que puse antes, sino que además plantea que un vector (podríamos decir recta sin pérdida de generalidad) es perpendicular a un plano si es perpendicular a CUALQUIER recta de dicho plano y esto no se cumpliría con la definición de ustedes, ya que existen rectas en el plano que no son coplanares al vector ortogonal al mismo - Anónimo
Respecto al tema de la arrogancia, creo que se interpretó mal lo que quise poner (seguramente por haberlo escrito mal). Lo que quise decir no es que era arrogante por haber cuestionado a Valero, sino por el hecho de comenzar una respuesta diciendo "lo que te dijeron está mal", más allá que la respuesta de ella, aunque esté perfecta (insisto en que yo no lo creo así), la está dando 6 años tardes, por lo que probablemente a Cecilia (que fue quien preguntó) ya no le interese la respuesta. - Anónimo
Por definición las rectas perpendiculares son aquellas que forman un angulo de 90º, pero además lo importante es la unicidad (El hecho que existe una recta única que es perpendicular a otra, que se interseca y pasa por un punto determinado). Las rectas del plano son perpendiculares a la recta normal, pero las que no intersecan con la normal no son LAS RECTAS PERPENDICULARES propiamente dichas(por lo de la unicidad) - Alejandro Salazar
Hay diferencia entre rectas perpendiculares y vectores direccionales ortogonales. De igual forma, no hay que confundir las siguientes afirmaciones:a) Dos rectas son paralelas, si el producto escalar de sus vectores direccionales es cero.b) Si rectas son paralelas, el producto escalar de sus vectores direccionales es cero. - Kristina Yakovleva
Por definición, para que dos rectas perpendiculares deben ellas formar un ángulo recto.Si el producto mixto del vector formado por un punto de cada recta y los dos vectores direccionales es diferente de cero, las rectas se entrecruzan.-- Si además, el producto escalar de sus vectores direccionales es cero, las rectas se entrecruzan en dirección ortogonal.Si dicho producto mixto es igual a cero, las rectas son coplanares.-- Si además, el producto escalar de sus vectores direccionales es cero, las rectas son perpendiculares. - Kristina Yakovleva
https://www.youtube.com/watch?v=gH-ksR0o9Wk - Kristina Yakovleva