Hallar la recta perpendicular a una recta que pase por un punto
Necesito encontrar una recta perpendicular a la recta
(x,y,z)= (-4,2,3)+k (5,-4,-2) que pase por el punto S=(3,2,1).
2 Respuestas
Ya nos dan el vector de la recta que es (5,4,-2). Como estamos en el espacio, hay infinitos vectores perpediculares a él, todos los que están en el plano perpendicular.
Para encontrar alguno de ellos haremos que el producto escalar sea 0. Y eso se hace sencillamente poniendo 0 en una coordenada e intercambiando las otras dos y cambiando una de signo. Pondremos 0 en la coordenada z y haciendo lo dicho queda el vector
(4, -5, 0)
Puedes comprobar que es perpendicular
(5, 4, -2) (4, -5, 0) = 5·4 - 4·5 -2·0 = 20 - 20 = 0
Luego una de las rectas perpendiculares es
(x,y,z) = (3,2,1) + k(4, -5, 0)
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar para poder hacer futuras consultas.
Muchas gracias!! es muy clara tu explicación...estoy preparando un examen final de Álgebra y Geometría Analítica y me quedan un par de preguntas más... Qué bueno fue encontrarte!! gracias y hasta la próxima!!
El resultado dado es incorrecto. La recta resultante:
(x,y,z) = (3,2,1) + k(4, -5, 0)(x,y,z) = (3,2,1) + k(4, -5, 0) no tiene punto en común con la recta dada:
(x,y,z)= (-4,2,3)+k (5,-4,-2).
Si tomamos el punto dado (3,2,1) con el punto (-4,2,3) de la recta dada formamos un vector (7, 0,-2). Este vector lo multiplicamos vectorialmente con el vector (5,-4,-2) de la recta dada y obtenemos la dirección (-2, 1, -7). Este último lo multiplicamos de nuevo vectorialmente con el vector (5,-4,-2) y obtenemos la dirección del vector paralelo al formado por el punto dado (3,2,1) y el punto (x, y, z) pie de la perpendicular sobre la recta dada. Obtenemos el vector (-10, -13, 1). La ecuación de la perpendicular que pasa por el punto (3, 2, 1) es (x, y, z) = (3, 2, 1) + t(-10, -13, 1).
Dos rectas perpendiculares deben tener un punto en común. El que el producto escalar de los vectores direccionales de dos rectas sea cero, es condición necesaria (pero no suficiente) para que las rectas en el espacio sean perpendiculares.
Efectivamente hay una infinidad de perpendiculares a la recta dada (todas las que están sobre el plano perpendicular que pasan por el punto de intersección), pero sólo una de ellas pasa por el punto exterior dado.
Otra solución, sin utilizar producto vectorial:
Encontrar una recta perpendicular a la recta (x,y,z)= (-4,2,3)+k (5,-4,-2) que pase por el punto S(3,2,1)
5(x – 3) – 4(y – 2) – 2(z – 1) = 0 es la ecuación del plano perpendicular a la recta y que pasa por el punto S(3,2,1).
Para obtener el punto de intersección del plano y la recta substituimos los valores de por, y, z.
5(– 4 + 5k – 3) – 4(2 – 4k – 2) – 2(3 – 2k – 1) = 0, de donde k = 13/15
El punto de intersección es (-4,2,3) + 13/15(5,-4,-2) = (-1/3 , - 22/15, 19/15)
El vector direccional de la recta buscada es (-1/3 , - 22/15, 19/15 ) – (3,2,1) = 1/3(-10, -13, 1)
La recta buscada es (x,y,z) = (3,2,1) + t (-10, -13, 1)
Hola. Y para el mismo enunciado pero que además la recta hallada esté contenida en un plano? en mi caso T: 1/2 x + y -1/2 z - 1 = 0 - ferpiopiogm .
No está bien hecho, ya que él saca un vector pero no tiene por qué ser el vector que pasa por ese punto. - Juan Pablo Míguez Melón
No está bien. Ha de intervenir rl producto vectorial. Tals como lo plantea hay infinitos PE =0. No puede ser. - Luis Lorente López-Cepero
La respuesta es incorrecta, ya que a pesar de que el vector es perpendicular al direccional de la recta inicial y la recta obtenida pasa por el punto dado (3, 2, 1) no garantiza que esta recta se intercepte con la recta original (el vector direccional obtenido (4, -5, 0)) define muchas rectas: una sola que contiene al punto (3,2,1) y una sola que cruza a la recta inicial. Estas podrían ser paralelas entre sí. - Kristina Yakovleva