Ecuaciones diferenciales reducción de orden
determine una segunda solución en cada ecuación diferencial del problema. Usar la reducción de orden
y'' + 2 y' + y = 0
y1 = x. E^(-x)
yo lo estoy resolviendo de la siguiente forma:
y2 = u(x).y1(x)
y2 = u. Xe^(-x)
y'2 = u'.x.e^(-x) +ue^(-x) - uxe^(-x)
y''2 = u''.x.e^(-x) + 2.u'.e^(-x) - 2.u'.x.e^(-x) - 2.u.e^(-x) - u.x.e^(-x)
en la ecuación diferencial
y'' +2y' +y = 0
[u''.x.e^(-x) + 2.u'.e^(-x) - 2.u'.x.e^(-x) - 2.u.e^(-x) - u.x.e^(-x)] + 2 [u'.x.e^(-x) +u.e^(-x) - uxe^(-x)] + [u. Xe^(-x)] = 0
al resolver esto me da lo siguiente:
u''xe^(-x) + 2u'e^(-x) - 2uxe^(-x) = 0
lo siguiente que hay que realizar es otra sustitución de acuerdo al tema
w = u'
w' = u''
sustituyendo me da lo siguiente:
w'.x.e^(-x) + 2.w.e^(-x) - 2[integral de w dx] xe^(-x) = 0
al factorizar mas:
e^(-x) [ w' x + 2w -2(integral w dx) ] = 0
w' x + 2w -2(integral w dx) = 0
mi duda para seguir el ejercicio es la integral de w no se como seguir y encontrar u(x) para poder encontrar la otra solución de y2 o no se que se puede hacer con eso si se realizar de otra forma por favor me podrías ayudar con esto muchas gracias!!!!
1 Respuesta
Creo que te ha equivocado en el cálculo de y2'' en el último térrmino
y2 = u. xe^(-x)
y2' = u'.x.e^(-x) +ue^(-x) - uxe^(-x)
y2'' = u''xe^(-x) + u'[e^(-x)-xe^(-x)] + u'e^(-x) - ue^(-x) - u'xe^(-x) - u[e^(-x)-xe^(-x)] =
u''xe^(-x) + 2u'e^(-x) - 2u'xe^(-x) - 2ue^(-x) + uxe^(-x)
Y como y2 debe cumplir la ecuación
y'' +2y' +y = 0
entonces
u''xe^(-x) + 2u'e^(-x) - 2u'xe^(-x) - 2ue^(-x) + uxe^(-x) + 2u'xe^(-x) +2ue^(-x) - 2uxe^(-x) + uxe^(-x) = 0
u''xe^(-x) + 2u'e^(-x) = 0
Aquí ves la diferencia en que tenías un termino de más que lo fastidiaba todo
Llamando
w=u'
w'=u''
w'xe^(-x) +2we^(-x) = 0
w'x + 2w = 0
w'x = -2w
w'/w = -2/x
ln w =-2lnx
ln w = 2ln(1/x) = ln(1/x^2)
w = 1/x^2 + C
u = $wdx = $(1/x^2 + C) dx = -1/x + Cx +D
con lo cual
y2 = (-1/x +Cx+D)xe^(-x)
y2= -e^(-x) + Cx^2·e^(-x) + Dxe^(-x)
Si simplemente nos piden una tomemos la más fácil
y2= -e^(-x)
Y eso es todo.
