Álgebra de Conjunto
Sean q,r números enteros. Decimos que q es congruente con r modulo 3 si y solo si 3 divide a la diferencia q - r.
a) De ejemplos de pares de números naturales que sean congruentes módulo 3. De ejemplo de pares de números que no sean congruentes módulo 3.
b) Demuestre que la relación de ser congruente es una relación de equivalencia.
c) Indique las clases de equivalencia que se obtienen por medio de esta relación.
Por Favor para mi las respuestas son de VIDA o MUERTE para este semestre de estudios.
1 Respuesta
La definición lo dice todo, la diferencia deberá ser múltiplo de 3, luego números que se diferencien en 3, 6, 9, etc serán congruentes.
a)
Son congruentes módulo 3:
1 y 4
2 y 17
9 y 12345678
Y son pares y no son congruentes módulo 3
4 y 8
6 y 14
12 y 12345676
b)
i) Es reflexiva porque (n-n) = 0 es divisible entre 3
ii) Es simétrica si nRm ==> (n-m) divisible por 3 y (m-n) = -(n-m) también lo es.
iii) Es transitiva si nRm y mRp tenemos
n-m = 3r con r € Z
m-p = 3s con s € Z
sumando tenemos
n-m+m-p = 3r + 3 s
n - p = 3(r+s)
Luego n congruente módulo 3 con p
c) Hay tres clases de equivalencia
La clase del 0
[0] = {n € Z | n=3m con m€Z}
Dicho de otro modo los múltiplos de 3
La clase del 1
[1] ={n € Z | n = 1+3m con m €Z}
En los positivos es 1,4,7,10,... y en los negativos -2, -5, -8, ...
La clase del 2
[2] = {n € Z | n=2+3m con m€Z}
En los positivos es 2,5,8,11,... y en los negativos -1, -4, -7, ...
Y eso es todo.
