Anónimo
Clases de equivalencia y conjunto cociente
Resulta que me dan una relación de la siguiente manera: aRb<=>(existe un que perteneciente a Z) : a+k=b... Se que es una relación de equivalencia... Pero no entiendo como concluir las clases de equivalencia. Además, me piden poner el conjunto cuociente en biyección con el intervalo [0,1[...Desde ya muchas gracias...Luis
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Se supone que el conjunto original es R (los números reales).
Veamos que es una relación de equivalencia, así me aseguro yo también de que lo es.
1)a+0=a ==> aRa
2) aRb ==> a+k=b ==> b+(-k)=a ==> bRa
3) aRb ==> a+k = b
bRc ==> b+m = c
luego a+(k+m) = c
Vale, se me olvido poner que, m pertenecientes a Z pero se ve que es de equivalencia. Y además se ve claramente que la intención es hacer equivalentes todos los números cuya parte fraccionaria es la misma.
La clase de equivalencia para un elemento a es:
[a] ={ x pertenecientes a R | a+k = x con k perteneciente a Z}
por ejemplo:
[0.25] ={0.25, -1.25, 1.25, -2.25, 2.25, -3.25, 3.25,...}
Es decir, todos los números con 0.25 de parte fraccionaria.
Y con esto es bien sencillo establecer la biyección. Basta tomar para cada clase el elemento cuyo valor esté en el intervalo [0,1) y se relaciona dicha clase del conjunto cociente con dicho valor del intervalo [0,1)
Espero que te sirva y lo hallas entendido y comprendido. Sobre la rigurosidad de la demostración tu verás hasta que punto tienes que dársela a tu profe, pero la idea creo que está bien clara, ¿no? Además da mala gana escribir aquí que no pueden usarseklos símbolos matemáticos. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.
Veamos que es una relación de equivalencia, así me aseguro yo también de que lo es.
1)a+0=a ==> aRa
2) aRb ==> a+k=b ==> b+(-k)=a ==> bRa
3) aRb ==> a+k = b
bRc ==> b+m = c
luego a+(k+m) = c
Vale, se me olvido poner que, m pertenecientes a Z pero se ve que es de equivalencia. Y además se ve claramente que la intención es hacer equivalentes todos los números cuya parte fraccionaria es la misma.
La clase de equivalencia para un elemento a es:
[a] ={ x pertenecientes a R | a+k = x con k perteneciente a Z}
por ejemplo:
[0.25] ={0.25, -1.25, 1.25, -2.25, 2.25, -3.25, 3.25,...}
Es decir, todos los números con 0.25 de parte fraccionaria.
Y con esto es bien sencillo establecer la biyección. Basta tomar para cada clase el elemento cuyo valor esté en el intervalo [0,1) y se relaciona dicha clase del conjunto cociente con dicho valor del intervalo [0,1)
Espero que te sirva y lo hallas entendido y comprendido. Sobre la rigurosidad de la demostración tu verás hasta que punto tienes que dársela a tu profe, pero la idea creo que está bien clara, ¿no? Además da mala gana escribir aquí que no pueden usarseklos símbolos matemáticos. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.
Muchas gracias por la respuesta... Pero me queda duda con el tema de la parte fraccionaria.
¿A qué se refiere con eso?. Además, no logro entender el por qué toma el 0.25 como ejemplo. Por otra parte, si tomo algún valor, sumando un entero (conjunto Z), el resultado estará fuera del intervalo. Le agradecería mucho si puede responder esa duda... Desde ya gracias por la respuesta. Saludos.
¿A qué se refiere con eso?. Además, no logro entender el por qué toma el 0.25 como ejemplo. Por otra parte, si tomo algún valor, sumando un entero (conjunto Z), el resultado estará fuera del intervalo. Le agradecería mucho si puede responder esa duda... Desde ya gracias por la respuesta. Saludos.
Tuve un fallo que quería corregir antes de que lo leyeras pero ya lo has leído
La clase del 0.25 es
[0.25] = {0.25, -0.75, 1.25, -1.75, 2.25, -2.75, 3.25,.....}
Pero ese fallo no restaba veracidad a todo lo dicho.
La parte fraccionaria es lo que queda de un número cuando se le resta su parte entera
Para los números positivos es tan sencillo como quitar lo que hay delante de la coma
f(2.34) = 0.34
para los negativos se quita la cifra entera, el signo y se complementa a uno lo que quedaba
f(-5.06) = 0.94
Lo del 0.25 era un ejemplo, igual que podría haber tomado el 2.47 o cualquier otro, solo servía para que tu vieras como es el conjunto de los elementos relacionados con 0.25, es decir, su clase de equivalencia bajo esta relación.
Una vez estás dentro del conjunto cociente olvídate de 0.57, 1.57, 6789.57, -0.43 como cosas distintas, son todos lo mismo a efectos de esa relación y se expresa como [0.57] por comodidad, aunque si prefieres llamarlo [1.57] no hay problema.
Una biyeccion entre este conjunto cociente y el intervalo [1,0) es una aplicación de las clases del conjunto cociente en el intervalo [0,1)
f : Conjunto cociente ---->[0,1)
Este conjunto cociente no contiene números sino clases de equivalencia
Conjunto cociente = { [0], [0.2], [0.123], [0.45],....}
No tendrá la clase [0.27] y la [1.27] sino solo una de las dos por que son la misma clase a efectos de esa equivalencia que hemos definido.
Ya te digo que es solo por comodidad, pero también por sentido común, se denota a cada clase por el elemento que tiene comprendido entre 0 y 1 y la biyección sale por si sola de una manera natural y se demuestra sin más.
Tal vez no tengas muy claro el concepto de clase de equivalencia. Piensa en los números racionales para ver cómo es una clase de equivalencia.
[1/2] = {1/2, 2/4, 3/6,...}
Y yo creo que eso es todo, como todo concepto de álgebra es algo abstracto y confuso, pero se puede llegar a entender. ¿Qué estudios realizas? Si ya te quedó claro, puntúa y cierra la pregunta.
La clase del 0.25 es
[0.25] = {0.25, -0.75, 1.25, -1.75, 2.25, -2.75, 3.25,.....}
Pero ese fallo no restaba veracidad a todo lo dicho.
La parte fraccionaria es lo que queda de un número cuando se le resta su parte entera
Para los números positivos es tan sencillo como quitar lo que hay delante de la coma
f(2.34) = 0.34
para los negativos se quita la cifra entera, el signo y se complementa a uno lo que quedaba
f(-5.06) = 0.94
Lo del 0.25 era un ejemplo, igual que podría haber tomado el 2.47 o cualquier otro, solo servía para que tu vieras como es el conjunto de los elementos relacionados con 0.25, es decir, su clase de equivalencia bajo esta relación.
Una vez estás dentro del conjunto cociente olvídate de 0.57, 1.57, 6789.57, -0.43 como cosas distintas, son todos lo mismo a efectos de esa relación y se expresa como [0.57] por comodidad, aunque si prefieres llamarlo [1.57] no hay problema.
Una biyeccion entre este conjunto cociente y el intervalo [1,0) es una aplicación de las clases del conjunto cociente en el intervalo [0,1)
f : Conjunto cociente ---->[0,1)
Este conjunto cociente no contiene números sino clases de equivalencia
Conjunto cociente = { [0], [0.2], [0.123], [0.45],....}
No tendrá la clase [0.27] y la [1.27] sino solo una de las dos por que son la misma clase a efectos de esa equivalencia que hemos definido.
Ya te digo que es solo por comodidad, pero también por sentido común, se denota a cada clase por el elemento que tiene comprendido entre 0 y 1 y la biyección sale por si sola de una manera natural y se demuestra sin más.
Tal vez no tengas muy claro el concepto de clase de equivalencia. Piensa en los números racionales para ver cómo es una clase de equivalencia.
[1/2] = {1/2, 2/4, 3/6,...}
Y yo creo que eso es todo, como todo concepto de álgebra es algo abstracto y confuso, pero se puede llegar a entender. ¿Qué estudios realizas? Si ya te quedó claro, puntúa y cierra la pregunta.