Propiedad del supremo.. Cómo demostrar?
Sea A subconjunto propio de los reales, y b que pertenece a los reales. Sea C={x-b | x pertenece a A} y existe supremo de A: supA.
Demostrar que existe SupC y que SupC=SupA - b
1 Respuesta
El supremo (si existe) es la menor de las cotas superiores de un conjunto.
Nos dicen que A tiene supremo, llamado supA
Veamos que SupC=SupA-b es cota superior de C
Dado y€C y=x-b con x € A. Como supA es el supremo de A tenemos
x <= supA <==> x-b <= supA-b = supC
Luego supC es cota superior de C
Y ahora supongamos que existe otro valor llamémoslo s que es cota superior de C, veamos que se cumple supC <= s. Para ello vamos a ver el absurdo de suponer que supC > s
supC > s >= x-b para todo x € A <==>
supC + b > s + b >= x para todo x € A <==>
sup A > s+b >= x para todo x € A
Pero esto es absurdo porque s+b es una cota superior de A y es menor que supA, luego será SupC <= s y entonces SupC=SupA-b es el supremo de C.
Y eso es todo.
