Espacios y subespacios por favor

P2 es un espacio vectorial de dimensión 3, su base canónica es {1, x, x^2}

Hay un teorema que dice que todo sistema generador debe tener al menos tantos vectores como la dimensión del espacio. Luego un sistema generador debe tener 3 o más vectores. Y si tiene 2 no puede ser generador y no puede ser una base.

Y si no podemos utilizar ese teorema tenemos que demostrar que hay algún vector que no se puede generar con ellos. Ese vector será linealmente independiente, voy a colcasrlos para ver cual puedo elegir

1 + x^2

3 + 2x

1

He elegido el 1 ya que he visto que de esta forma tengo todo ceros debajo de la diagonal y el determinante de la matriz sería 1·2·1 = 2 con lo que son independientes

Y si tampoco sirve el argumento del determinante de la matriz probaremos a mano que 1 no se puede generar con los vectores que nos dan.

Supongamos que existen a y b tales que

a(1+x^2) + b(3+2x) = 1

a +ax^2 + 3b + 2bx = 1

a+3b + 2bx + ax^2 = 1

para que se de esa igualdad de polinomios deben darse estas tres

a+3b = 1

2b = 0 ==> b=0

a = 0

pero esto es absurdo, ya que si a=b=0 entonces a+3b=0 y no 1 como tenemos

Luego no existen esos a y b, y por tanto el polinomio 1 no se puede generar con esos 2 y no son un sistema generador y por lo tanto no son una base.

Y eso es todo.