Problema de fracciones
problema de matemáticas, tema fracciones: Luis reparte entre sus amigos los discos de música que tenía. A uno le regaló un disco y 1/7 de los restantes, a otro dos discos y 1/7 de todos los restantes, a un tercero, tres discos y 1/7 de los restantes y así sucesivamente, hasta que repartió todos sus discos. ¿cuántos discos tenía y entre cuántos amigos se repartieron?
te agradecería mucho tu respuesta, tengo examen el martes y no hay manera de hacerlo....
tengo otro también, de divisibilidad: halla un número que contenga solo como factores primos el 2 y el 3, y tal que el numero de sus divisores sea la tercera parte del total de divisores que tiene el cuadrado de dicho numero.
muchas grácias!
Este problema no es fácil.
Habrá un amigo con el que termine el reparto. A este último solo le dio la parte primera, el número entero de discos, porque si le hubiera dado la séptima parte de los restantes todavía quedarían discos y no sería el último.
Las séptimas partes de los que quedan irán disminuyendo, pero mientras no de más de 7 discos a uno no podrán disminuir en más de una unidad.
Es decir, suponiendo que dé 7 o menos discos a cada uno, las primeras partes forman una sucesión creciente
1,2,3,..,n
Y las segundas una sucesión decreciente
n-1, n-2,...,0
Y el número de discos es 1+ 7 veces los que da al primero como séptima parte de los que quedan, es decir:
1+7(n-1)
Por otra parte, la suma de esas dos sucesiones es
(1+n)n/2 + (n-1)n/2 = (2n)n/2= n^2
Luego
1+7(n-1) = n^2
1+7n - 7 = n^2
n^2 - 7n + 6 = 0
Resolvemos la ecuación de grado 2
n=[7+-sqrt(49-24)]/2
n= [7+-sqrt(25)]/2
n =(7+-5)/2
n = 1 o 6
La respuesta 1 es obvia, sería 1 libro y un amigo
La respuesta 6 implica 6 amigos y 36 libros.
Esta segunda hay que comprobarla
Al primer amigo 1+ 35/7 = 1+5= 6
Al segundo, quedan 30, le da 2 y 28/7 = 2+4 = 6
Al tercero, quedan 24, le da 3 y 21/7 = 3+3 = 6
Se puede seguir comprobando que el reparto está bien y tocan 6 a cada uno.
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Hay otro enfoque
Sean x el número de libros
Como da 1 tiene que ser x-1 un múltiplo de 7
Cuando reparte al segundo amigo ha dad, antes de la segunda parte ha dado
1+(x-1)/7+2
Luego quedan
x-[1+(x-1)/7+2] = x-(7+x-1+14)/7 = x-(x+20)/7 = (7x-x-20)/7 = (6x+20)/7
Y esa cantidad debe ser múltiplo de 7 luego
(6x-20)/7 = 7k
6x-20 = 49k
x = (49k+20)/6
Como x es un número entero también debe serlo el segundo miembro, podemos ponerlo asi
x= (48k + k +18 +2)/6 = 6k - 3 + (k+2)/6
Para que sea entero debe ser k+2 múltiplo de 6.
El número k mas pequeño que cumple eso es k=4
Y con k= 4 tenemos
x=(49·4+20)/6 = 216/6 = 36
Y con eso tenemos un número con el que debemos probar a ver si se cumple. Ya vimos en el apartado anterior que si, luego la respuesta es 36 libros y 6 amigos.
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El otro ejercicio mándalo si quieres en otra pregunta. No se admiten varios ejercicios por pregunta y menos si son complicados.
