Para que valores es linealmente independiente

Debemos comprobar el rango de la matriz que se obtiene poniendo apilados los vectores. Además, si quedan tantas filas como columnas, se puede comprobar que son linealmente independientes a través del determinante. Si es distinto de 0 son independientes

|t  1  1|
|1  t  1| =
|1  1  t|

Aquí las simplificaciones de hacer ceros no salen fácilmente vamos a resolverlo por los productos de diagonales

= t^3 + 1 + 1 - t - t - t = t^3 - 3t + 2

Hay que calcular las raíces de

t^3 - 3t + 2 = 0

Las ecuaciones de grado 3 están generalmente fuera de cualquier plan de estudios. Asi que probaremos las respuestas. Si no lo han querido hacer muy complicado serán enteras o al menos lo será 1 para tirar del ovillo.

Y si es entera dividirá al término libre que es 2, luego será 1, -1, 2 o -2

1^3 - 3·1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

Y ahora usamos Ruffini para factorizar

    1  0  -3  2
1      1   1 -2 
    -----------
    1  1  -2 |0

t^3 - 3t + 2 = (t-1)(t^2 + t - 2)

Vemos que 1 es raíz de t^2+t-2 ya que 1+1-2=0

luego tenemos otra vez la raíz 1

     1   1  -2
1        1   2
     ----------
     1   2  |0

La descomposición total es:

t^3-3t+2 = (t-1)^2 · (t+2)

Luego los valores que hacen 0 el determinante son

t1 = 1

t2 = -2

Que son los que hacen que sean linealmente dependientes, luego la solución es:

Son linealmente independientes para todo t perteneciente a R-{1, -2}

Y eso es todo.