Otro ejercicio de probabilidad.
Un proceso para fabricar un componente electrónico tiene 5% de defectuosos. Un plan de control consiste en seleccionar 200 artículos del proceso y si a lo sumo uno esta defectuoso, el proceso continúa. Utilice la aproximación normal a la binomial para encontrar:
a)la prob de que el proceso continué con el plan que se describe.
b)la prob de que el proceso continué aunque la frecuencia de componentes defectuosos cambio a 10%.
necesito la parte b porque la a me dio (0.167)!
1 Respuesta
En el otro ejercicio dábamos el teorema central del límite aplicado a la media de la suma de las variables aleatorias. También se puede aplicar a la suma de las variables aleatorias y entonces dice que la suma de n variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas puede ser aproximada por una distribución normal que tiene como media la media de las variables multiplicada por n y como desviación estándar la desviación estándar de las variables multiplicada por la raíz cuadrada de n. Todo ello si n es suficientemente grande, se suele exigir n>30
Las variables individuales son binomiales con n= 1 y p=0.05.
La distribución normal del teorema tendra por media 200p = 10 y como desviación estándar
Dios mío como se revela el teclado y manda la respuesta por su cuenta. Espera que lo termine.
La distribución normal del teorema tendrá por media 200p = 10 y como desviación estándar la raíz de 200 por la raíz de p(1-p)
$$\sigma = \sqrt{200}\sqrt{0.05\times0.95}=\sqrt{9.5}=3.082207001$$Luego la distribución normal es una N(10, 3.082207)
Cuando tenemos una variable discreta con valores enteros aproximada por una continua hay que dar como probabilidad para un valor entero n a la probabilidad de la distribución continua en el intervalo [n-0.5, n+0.5]
Y más en concreto para intervalos enteros, si llamamos D a la distribución discreta y C a la continua
P(n < D < m) = P (n+0.5 <= C <= m-0.5)
P(n < D <= m) = P(n+0.5 <= D <= m+0.5)
P(n <= D < m) = P(n-0.5 <= D <= m-0.5)
P(n<= D <= m) = P(n-0.5 <= D <= m+0.5)
El proceso se parará si solo salen 0 o 1 objetos defectuosos
Entonces la probabilidad de pararlo es la probabilidad del intervalo [-0.5, 1.5] de la distribución normal
P[N(10, 3.082207) <= 1.5] - P[N(10, 3.082207)<=-0.5]=
Y tipificando la normal que tenemos a una N(0,1) tendremos que
= P[N(0,1) <= (1.5-10)/3.082207] - P[N(0,1) <= (-0.5-10)/3.082207] =
= P[N(0,1) <= -2.757764161] - P[N(0,1) <= -3.406649845]=
Si lo hacemos con la tabla no tenemos las probabilidades para valores negativos pero podemos calcularlas por simetría mediante
P(X <= -a) = 1-P(X <= a)
Con lo que queda
= 1 - P[N(0,1) <= 2.757764161] - {1 - P[N(0,1) <= 3.406649845]}=
P[N(0,1) <= 3.406649845] - P[N(0,1) <= 2.757764161] = 0.9997 - 0.9971 = 0.0026
Esa probabilidad era la de parar, como nos piden la de continuar será
P(continuar) = 1-0.0026 = 0,9974.
b) Basta con hacer las mismas cuentas para los nuevos valores
p=0.1
media =200p = 20
desviación = sqrt(200 · 0.1 · 0.9) = sqrt(18) = 4.242640687
P(parar) = P[N(0,1) <= (1.5-20)/4.242640687] - P[N(0,1) <= (-0.5-20)/4.242640687) =
P[N(0,1) <= -4.360491817] - P[N(0,1) <= -4.831896338] =
P[N(0,1) <= 4.831896338] - P[N(0,1) <= 4.360491817]=
Y esto se sale de las tablas, lo haré con Excel
= 0.99999932 - 0.99999351 = 0.00000581233
P(continuar) = 1 - 0.0000058123 = 0.999994188
Y eso es todo. Fijate que la respuesta que dabas no tenía sentido, si la media es de 10 objetos defectuosos la probabilidad de sacar más de uno es muy grande mientras que tú la ponías muy pequeña.
Y eso es todo.
