Prueba que la suma de los cuadrados de tres números no divisibles por 3 es divisible por 3

Sean a, b, c los tres cuadrados

Si un cuadrado no es múltiplo de 3 tampoco lo es su raíz cuadrada, puesto que si la raíz cuadrada fuera múltiplo de 3 el cuadrado sería múltiplo de 9 y por lo tanto de 3

Luego las raíces de a, b y c nos son múltiplos de 3 y pueden escribirse de la forma

3n+1

o

3n+2

y entonces a, b y c serán

(3n+1)^2 = 9n + 6n + 1

Como los dos primeros sumandos son múltiplos de 3 también lo es la suma y el cuadrado es de la forma 3m+1 con m € Z

o

(3n+2)^2 = 9n + 12n + 4 = 9n + 12n + 3 +1

Aquí los tres primeros sumandos son múltiplos de 3, luego el cuadrado tiene la forma 3q+1 con q€Z

Entonces la suma de los tres cuadrados será la suma de tres números de esta forma

3m+1 + 3q+1 + 3r +1 = 3(m+q+r) + 3 = 3(m+q+r+1)

Luego es múltiplo de 3.

Y eso es todo.