Aplicaciones de la derivada

Se presentan en nuestra vida casos cuya solución consiste en establecer valores extremos (máximos o mínimos) de una función. Si podemos o sabemos cómo plantear la función requerida, nos será posible resolver muchos de estos casos de
aplicación práctica.

1.- Se quiere construir una caja de volumen máximo utilizando una pieza cuadrada de
aluminio de 10 centímetros por lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas
y doblando las partes restantes, ¿cuál debe ser la altura de la caja, para
obtener un volumen máximo?

a) Escribe la relación matemática entre las variables.

Llegué al resultado siguiente:

V=volumen
V= (10-2x)(10-2x)(x)

Solo se haría la multiplicación, pero me pide además

b)Derivar la función.

c)Igualar a cero la derivada y resolver.

d) Los valores encontrados sustituirlos en la función que deseamos maximizar

e)Decidir cuál valor es el que maximiza o minimiza la función.
Apreciaría mucho tu ayuda.

2 Respuestas

Respuesta
1

Ya habíamos visto que

V = (10-2x)(10-2x)x = x(10-2x)^2 = x(100-40x+4x^2) = 4x^3 - 40x^2 +100x

asi es mucho más fácil de derivar

b) V'(x) = 12x^2 - 80x + 100

c) 12x^2 - 80x + 100= 0

dividimos por 4 para que las cuentas sean más sencillas

3x^2 - 20x + 25 = 0

$$\begin{align}&x=\frac{20\pm \sqrt{20^2-4·3·25}}{6}=\\ &\\ &\frac{20\pm \sqrt{400-300}}{6}=\\ &\\ &\frac{20\pm 10 }{6}= 5 \;y \;\frac{5}{3}\\ &\\ &\end{align}$$

d) Ahora tomamos la función

V(x)= x(10-2x)^2

Puesta de esa forma se simplifican los cálculos será mejor

V(5) = 5(10-10)^2 = 0

V(5/3) = (5/3) (10 - 10/3)^2 = (5/3)(20/3)^2 = (5/3)(400/9) = 2000/27

d) 5 es el valor que la minimiza y 5/3 es el valor que la maximiza

Y eso es todo.

·

Habíamos llegado a una ecuación de segundo grado. Supongo que sabrás como se resuelven estas ecuaciones

$$\begin{align}&ax²+bx+c=0\\&\\&entonces\\&\\&x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&\\&\text {Luego para}\\&\\&3x^2 - 20x + 25= 0\\&\\&x=\frac{20\pm \sqrt{20^2-4·3·25}}{2·3}\end{align}$$

Y todo lo demás es igual que antes.

Respuesta

Estoy revisando la solución de su problemas pero después de dividir todo entre 4 no entendí que fue lo que hizo para poder sacar la raíz cuadrada y obtener el resultado de x...

Podría señalarme que fue lo que hizo...

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