La topología de los espacios métricos

Sea A un conjunto abierto con la métrica del taxi. Para todo (x, y) € A existe una bola en métrica del taxi con centro en (x, y) y radio r>0 tal que esa bola está enteramente incluida en A. Habría que demostrar que para ese mismo punto existe una bola en métrica usual con centro en (x, y) y radio s>0 tal que esa bola esté enteramente incluida en A.

Con la métrica del taxi las bolas tiene forma de cuadrado puesto de pico, mientras que las bolas usuales son círculos. Dada una bola del taxi incluida en A podemos inscribir un circulo en el cuadrado y tendremos una bola usual incluida en A. Haciendo esto en todos los puntos tendremos que todo punto interior con la métrica del taxi será interior con la métrica usual y por tanto si es abierto con la primera también lo será con la segunda.

De la misma forma si el conjunto A es un abierto con la métrica usual todo punto tendrá una bola usual con centro en el incluida en A. Gráficamente inscribiremos un cuadrado puesto de pico dentro del círculo y el conjunto será abierto para la métrica del taxi.

Si se quiere hacer analíticamente, para una bola del taxi de radio r tenemos que la bola usual de radio r/2 es la bola inscrita

$$\begin{align}&\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\lt \frac{r \sqrt 2}{2}\\ &\\ &(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 \lt \frac{r^2}{2}\\ &\\ &\text {Hay un teorema que dice que la media}\\ &\text{geométrica es menosr que la aritmetica}\\ &\\ &\sqrt{|x-x_0|·|y-y_0|}\le \frac{|x-x_0|+|y-y_0|}{2}\\ &\\ &\\ &|x-x_0|·|y-y_0|\le \frac{|x-x_0|^2+|y-y_0|^2+2|x-x_0|·|y-y_0|}{4}\\ &\\ &\\ &4|x-x_0|·|y-y_0|\le |x-x_0|^2+|y-y_0|^2+2|x-x_0|·|y-y_0|\\ &\\ &\\ &2|x-x_0|·|y-y_0|\le |x-x_0|^2+|y-y_0|^2 \lt \frac{r^2}{2} \\ &\\ &Luego\\ &\\ &|x-x_0|^2+|y-y_0|^2+2|x-x_0|·|y-y_0|<r^2\\ &\\ &(|x-x_0|+|y-y_0|)^2 \lt r^2\\ &\\ &|x-x_0|+|y-y_0|<r\end{align}$$

Hemos visto que un punto (xo, yo) de la bola usual de radio de r entre raíz de 2 con centro (x,y) esta dentro de una bola de taxi de radio r

Y ahora falta por ver lo otro, que una bola taxi se puede inscribir en un usual. Esto es mucho más sencillo, dad la usual de radio r tomaremos la taxi de radio r también

$$\begin{align}&|x-x_0|+|y-y_0|\lt r\\ &\\ &\\ &|x-x_0|^2+|y-y_0|^2+2|x-x_0|·|y-y_0| \lt r^2\\ &\\ &\\ &\sqrt{|x-x_0|^2+|y-y_0|^2+2|x-x_0|·|y-y_0|}\lt r\\ &\\ &\text{Y si tomamos la raíz cuadrada de algo menor se cumple con más motivo}\\ &\\ &\sqrt{|x-x_0|^2+|y-y_0|^2}\lt r\end{align}$$

Y eso es todo.