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Calcularemos el límite descomponiendo f en la suma de la función que da la parte real y la imaginaria
f(z) = u(x,y) + i·v(x,y)
siendo z=x+iy tenemos
$$\begin{align}&f(z) = |x + iy - 8|^2 =\left(\sqrt{(x-8)^2+y^2}\right)^2=\\ &\\ &(x-8)^2+y^2 + 0i\end{align}$$Sea zo=xo+i·yo
El teorema de la pagina 32 dice que si el límite de u(x, y) cuando (x, y) tiende a (xo, yo) es uo y el límite de v(x, y) cuando x, y) tiende a (xo, yo) es vo entonces el límite de f(z) cuando z tiende a zo es uo+i·vo
La función u(x,y) = (x-8)^2+y^2 es polinómica real y ya sabemos que su límite es
uo=(xo-8)^2 + yo^2
Y la función 0 tiene límite vo=0
Luego el límite de f(z) será cuando z tiende a zo es
(xo-8)^2 + yo^2 + i·0 = (xo-8)^2 + yo^2 =
que traducido al número zo sería
= [Re(zo)-8]^2 + [Im(zo)]^2
Espera que estaba perdido y estaba calculando el límite. Podemos ver que coincide con el valor de la función y ya está. Pero como lo que nos piden es la continuidad no hace falta calcularlo, podemos aplicar el teorema de la página 41. Entonces f será continua en zo si y solo si u y v son continuas en (xo, yo)
Y u es una función polinómica de R2 que en cursos anteriores se ha visto que es continua, lo mismo que la función v que es la función nula, luego f es continua.
Y eso es todo.
