Ecuación super difícil

Ecuación cuártica resuelta.

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Puedes solucionar esta ecuación? ecuación : [((por^2)-6x+10)/((por^2)+8x+17)] = [(por+4)/(x-3)]^(-2)

Primero, vamos a simplificar la expresión del lado derecho elevando al cuadrado en ambos lados de la igualdad:

[((por^2)-6x+10)/((por^2)+8x+17)] = [(por+4)/(x-3)]^(-2) [(por+4)/(x-3)]^2 = [(por^2)+8x+17]/[(por^2)-6x+10]

Expandiendo el cuadrado del lado derecho, tenemos:

[(por+4)^2/(x-3)^2] = [(por^2)+8x+17]/[(por^2)-6x+10]

Multiplicando ambos lados por [(por^2)-6x+10] (el denominador del lado derecho), tenemos:

[(por+4)^2/(x-3)^2] * [(por^2)-6x+10] = [(por^2)+8x+17]

Expandiendo esta expresión, tenemos una ecuación cuártica:

por^4 - 20por^3 + 125por^2 - 294por + 200 = 0

Llevará tiempo

Como puedes ver, el corrector elimina algunas veces la letra equis por lo que que la cambiaremos por z.
[((z^2)-6z+10)/((z^2)+8z+17)] = [(z+4)/(z-3)]^(-2)
Pasaremos los denominadores al otro miembro. No es necesario poner z^2 entre paréntesis, precisamente las reglas de precedencia de operaciones parece que fueron diseñadas para que los polinomios puedan escribirse sin usar paréntesis
(z^2 - 6z + 10)(z-3)^2 = (z^2 + 8z + 17)(z+4)^2
(z^2 - 6z +10)(z^2 - 6z + 9) = (z^2 + 8z +17)(z^2 + 8z +16)
Y habrá que operar con cuidado
z^4 - 6z^3 + 9z^2 - 6z^3 + 36z^2 - 54z + 10z^2 - 60z + 90 =
z^4 + 8z^3 + 16z^2 + 8z^3 + 64z^2 + 128z + 17z^2 + 136z + 272
z^4 - 12z^3 + 55z^2 - 114z + 90 = z^4 + 16z^3 + 97z^2 + 264z + 272
28z^3 + 42z^2 + 378z + 182 = 0
2z^3 + 3z^2 + 27z + 13 = 0
Y para las ecuaciones de grado 3 que no se vean inmediatamente hay que usar unas fórmulas complicadas o algún programa de ordenador. Yo uso máxima para que me de la primera raíz real
z1 = -1/2
Las otras dos me las da con decimales de forma que no se conoce la expresión exacta
Divido
(2z^3 + 3z^2 + 27z + 13)(z+1/2) = 2z^2 + 2z + 26
Resuelvo
2z^2 + 2z + 26 = 0
z^2 + z +13 = 0
z = [-1+-sqrt(1-52)] /2
Salen dos raíces complejas conjugadas
z2 = -1/2 + (1/2)sqrt(51)i
z3 = -1/2 - (1/2)sqrt(51)i
Y eso es todo, ya tienes las tres soluciones.

[((por^2)-6x+10)/((por^2)+8x+17)] = [(por+4)/(x-3)]^(-2)

Podemos comenzar tomando el recíproco en ambos lados, lo que nos da:

[((por+4)/(x-3))^2] = ((por^2)+8x+17)/((por^2)-6x+10)

Ahora podemos simplificar la expresión en el lado derecho multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:

[((por+4)/(x-3))^2] = ((por^2)+8x+17)/((por-1)^2+9)

Ahora, multiplicamos ambos lados por el denominador del lado derecho:

[((por+4)/(x-3))^2] * ((por-1)^2+9) = (por^2)+8x+17

Expandiendo el lado izquierdo, obtenemos:

[((por+4)/(x-3))^2] * ((por-1)^2+9) = (por^2)-2por+1 + 9 + 8x + 17

Simplificando, obtenemos:

[((por+4)/(x-3))^2] * ((por-1)^2+9) = (por^2) + 8x + 27 - 2por

Ahora, podemos sustituir y = (por+4)/(x-3):

y^2 * ((por-1)^2+9) = por^2 + 8x + 27 - 2por

Expandiendo y simplificando, obtenemos:

y^2por^2 - 2ypor + y^210 = 8x + y^218

Simplificando aún más, obtenemos:

y^2por^2 - 2ypor + (y^210 - y^218) - 8x = 0

y^2por^2 - 2ypor - 8(y^2 - 5y^2) + 8x = 0

y^2por^2 - 2ypor - 32y^2 + 8x = 0

Esta es una ecuación cuadrática en por, por lo que podemos usar la fórmula cuadrática:

por = [2y ± sqrt(4y^2 + 128y^2 - 32xy^2)] / (2y^2)

Simplificando, obtenemos:

por = [1 ± sqrt(33 - 8xy^2)] / y

Ahora, podemos sustituir de nuevo y = (por+4)/(x-3):

por = [1 ± sqrt(33 - 8*(por+4)^2/(x-3)^2)] / ((por+4)/(x-3))

Multiplicando ambos lados por (por+4)/(x-3), obtenemos:

por(por+4)/(x-3) = 1 ± sqrt(33 - 8*(por+4)^2/(x-3)^2)

Expandiendo y simplificando, obtenemos:

por^2 + 4por = (x-3) ± sqrt(33(x-3)^2 - 8(por+4)^2)

Ahora podemos elevar ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada:

(por^2 + 4por)^2 = [(x-3) ± sqrt(33(x-3)^

Para resolver esta ecuación, podemos seguir los siguientes pasos:

Simplificar los términos en ambos lados de la ecuación.

Elevar ambos lados de la ecuación al exponente inverso de la fracción en el lado derecho.

Simplificar los términos y obtener una ecuación cuadrática.

Resolver la ecuación cuadrática para encontrar los valores de "p" y "x".

A continuación, detallamos cada uno de estos pasos:

En el lado izquierdo de la ecuación, podemos simplificar el numerador y el denominador del término fraccionario. Para ello, podemos expandir el numerador del término fraccionario en el lado izquierdo:
[(p^2 - 6x + 10)/(p^2 + 8x + 17)] = [(p + 4)/(x - 3)]^(-2)
(p^2 - 6x + 10) = [(p + 4)/(x - 3)]^(-2) * (p^2 + 8x + 17)

Ahora, podemos elevar ambos lados de la ecuación al exponente inverso de la fracción en el lado derecho. El exponente inverso de -2 es -1/2, por lo que elevamos ambos lados a -1/2:
[(p^2 - 6x + 10)/(p^2 + 8x + 17)]^(-1/2) = [(p + 4)/(x - 3)]^(1)
[(p + 4)/(x - 3)] = [(p^2 + 8x + 17)/(p^2 - 6x + 10)]^(1/2)

A continuación, podemos simplificar los términos y obtener una ecuación cuadrática. Para ello, podemos elevar ambos lados de la ecuación al cuadrado:
[(p + 4)/(x - 3)]^2 = [(p^2 + 8x + 17)/(p^2 - 6x + 10)]
(p + 4)^2 = [(p^2 + 8x + 17)(x - 3)^2]/(p^2 - 6x + 10)

Luego, podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por (p^2 - 6x + 10) para simplificar los términos:

(p + 4)^2(p^2 - 6x + 10) = (p^2 + 8x + 17)(x - 3)^2

Finalmente, podemos resolver la ecuación cuadrática para encontrar los valores de "p" y "x". Para ello, podemos expandir los términos y agrupar los términos por potencias de "x" y "p":
p^4 - 12p^2x - 24px + 36x^2 + 8p^3 + 64x^2 + 32p^2 + 136x + 137 = 0

Luego, podemos reordenar los términos y obtener una ecuación cuadrática en términos de "x":

9x^2 + (p^2 - 8p - 36)x + (p^4 + 8p^3 + 32p^2 + 136p + 137) = 0

Podemos resolver esta ecuación cuadrática utilizando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas:

x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)]/(2a)

Donde "a", "b" y "c" son los coeficientes de la ecuación cuadrática. Sustituyendo los valores correspondientes, obtenemos:

x = [-(p^2 - 8p - 36) ± sqrt((p^2 - 8p - 36)^2 - 49(p^4 + 8p^3 + 32p^2 + 136p + 137))]/(2*9)

Podemos simplificar esta expresión y obtener:

x = [-(p^2 - 8p - 36) ± sqrt(p^4 + 8p^3 - 8p^2 - 576p - 629)]/18

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación original son los valores de "p" y "x" que satisfacen esta última ecuación cuadrática

Para resolver esta ecuación, podemos seguir los siguientes pasos:

Simplificar los términos en ambos lados de la ecuación.

Elevar ambos lados de la ecuación al exponente inverso de la fracción en el lado derecho.

Simplificar los términos y obtener una ecuación cuadrática.

Resolver la ecuación cuadrática para encontrar los valores de "p" y "x".

A continuación, detallamos cada uno de estos pasos:

En el lado izquierdo de la ecuación, podemos simplificar el numerador y el denominador del término fraccionario. Para ello, podemos expandir el numerador del término fraccionario en el lado izquierdo:
[(p^2 - 6x + 10)/(p^2 + 8x + 17)] = [(p + 4)/(x - 3)]^(-2)
(p^2 - 6x + 10) = [(p + 4)/(x - 3)]^(-2) * (p^2 + 8x + 17)

Ahora, podemos elevar ambos lados de la ecuación al exponente inverso de la fracción en el lado derecho. El exponente inverso de -2 es -1/2, por lo que elevamos ambos lados a -1/2:
[(p^2 - 6x + 10)/(p^2 + 8x + 17)]^(-1/2) = [(p + 4)/(x - 3)]^(1)
[(p + 4)/(x - 3)] = [(p^2 + 8x + 17)/(p^2 - 6x + 10)]^(1/2)

A continuación, podemos simplificar los términos y obtener una ecuación cuadrática. Para ello, podemos elevar ambos lados de la ecuación al cuadrado:
[(p + 4)/(x - 3)]^2 = [(p^2 + 8x + 17)/(p^2 - 6x + 10)]
(p + 4)^2 = [(p^2 + 8x + 17)(x - 3)^2]/(p^2 - 6x + 10)

Luego, podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por (p^2 - 6x + 10) para simplificar los términos:

(p + 4)^2(p^2 - 6x + 10) = (p^2 + 8x + 17)(x - 3)^2

Finalmente, podemos resolver la ecuación cuadrática para encontrar los valores de "p" y "x". Para ello, podemos expandir los términos y agrupar los términos por potencias de "x" y "p":
p^4 - 12p^2x - 24px + 36x^2 + 8p^3 + 64x^2 + 32p^2 + 136x + 137 = 0

Luego, podemos reordenar los términos y obtener una ecuación cuadrática en términos de "x":

9x^2 + (p^2 - 8p - 36)x + (p^4 + 8p^3 + 32p^2 + 136p + 137) = 0

Podemos resolver esta ecuación cuadrática utilizando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas:

x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)]/(2a)

Donde "a", "b" y "c" son los coeficientes de la ecuación cuadrática. Sustituyendo los valores correspondientes, obtenemos:

x = [-(p^2 - 8p - 36) ± sqrt((p^2 - 8p - 36)^2 - 49(p^4 + 8p^3 + 32p^2 + 136p + 137))]/(2*9)

Podemos simplificar esta expresión y obtener:

x = [-(p^2 - 8p - 36) ± sqrt(p^4 + 8p^3 - 8p^2 - 576p - 629)]/18

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación original son los valores de "p" y "x" que satisfacen esta última ecuación cuadrática