Problemas de integrales complejas 2

Definición:

Sea ? un dominio en el plano complejo y sea f:??C una función continua. Sea C una curva regular a trozos contenida en ? y parametrizada por
z(t) = x(t) + i·y(t) para t1 = t = t2
Se define la integral de f sobre C como

$$\int_Cf(z)dz=\int_{t_1}^{t^2}f(z(t))·c'(t)\;dt$$

Espera que voy a mandarlo para ver si se ve bien la definición, he puesto dos símbolos que no sé siu admitirá la página. Luego continuaré.

Vale, ya sabía que no iba a poder ser eran 5 los símbolos que no ha admitido, omega, flecha a derecha, la C con barra de los complejos y el menor o igual. Los famosos dominios sobre el plano complejo que en todos los sitios se llaman Omega tendrán que llamarse D aquí y para no confundir la C de complejo con el camino C llamaré sigma al camino.

Definición:

Sea D un dominio en el plano complejo y sea f: D-->C una función continua. Sea sigma una curva regular a trozos contenida en C y parametrizada por
sigma(t) = x(t) + i·y(t) para t1 <= t <= t2
Se define la integral de f sobre sigma como

$$\int_{\sigma}f(z)dz=\int_{t_1}^{t^2}f(\sigma(t))·\sigma'(t)\;dt$$

Vamos con el ejercicio:

$$\begin{align}&f(z) = z^2\\ &\\ &\sigma(t) = \sqrt t + it \quad t\in[1,4]\\ &\\ &\sigma'(t) = \frac{1}{2 \sqrt t}+i\\ &\\ &\\ &\int_{\sigma}f(z)dz = \int_{t_1}^{t^2}f(\sigma(t))·\sigma'(t)\;dt=\\ &\\ &\int_0^1\left(\sqrt t+it\right)^2\left(\frac{1}{2 \sqrt t}+i  \right)dt=\\ &\\ &\left.\frac{(\sqrt t+it)^3}{3}  \right|_0^1=\frac{(1+i)^3}{3}-0=\\ &\\ &\frac{1+3i+3i^2+i^3}{3}= \frac{1+3i-3-i}{3}=\\ &\\ &-\frac 23 +\frac 23i\end{align}$$

Y eso es todo.