Ayuda!...ecuaciones diferenciales por separación de variables.

Ya como son todas por variables separables, debes agrupar los términos iguales y tratar de dejarlos con sus respectivas diferenciales a un lado de la igualdad, entonces en un lado las x con sus dx y al otro las y con sus dy.

1.

$$\begin{align}&\frac{2r-1}{t}dr+\frac{r-2r^2}{t^2-1}dt=0\\ &\frac{2r-1}{t}dr=\frac{-r}{t^2-1}dt+\frac{2r^2}{t^2-1}dt\\ &\frac{2r-1}{t}dr=\frac{2r^2-r}{t^2-1}dt\\ &\frac{2r-1}{t}dr=\frac{r(2r-1)}{t^2-1}dt/\cdot(\frac{1}{2r-1})\\ &\frac{dr}{t}=\frac{r}{t^2-1}dt\\ &\frac{dr}{r}=\frac{t}{t^2-1}dt(\cdot\int)\\ &(i)\int{\frac{dr}{r}}=(ii)\int{\frac{t}{t^2-1}dt}\\ &\\ &(i)\int{\frac{dr}{r}}=ln(r)\\ &\\ &(ii)\\ &u=t^2-1\\ &\frac{du}{2}=tdt\\ &\\ &\int{\frac{t}{t^2-1}dt}=\frac{1}{2}\int{\frac{du}{u}dt}=\frac{1}{2}ln(t^2-1)+ln(c)\\ &\\ &ln(r)=\frac{1}{2}ln(t^2-1)+ln(c)\\ &ln(r)=ln(\sqrt{t^2-1})+ln(c)\\ &ln(r)=ln((\sqrt{t^2-1})\cdot{C})/\cdot{e}\\ &e^{ln(r)}=e^{ln((\sqrt{t^2-1})\cdot{C})}\\ &r=C\sqrt{t^2-1}\end{align}$$

Hay encontramos la solución general de la ecuación, pero en tu ejercicio nos piden una solución particular, entonces reemplazamos r(2)=4

$$\begin{align}&r(2)=4-->t=2;r=4\\ &\\ &r=C\sqrt{t^2-1}\\ &4=C\sqrt{(2)^2-1}\\ &4=C\sqrt{3}\\ &\frac{4}{\sqrt{3}}=C\end{align}$$

Puedes racionalizar si quieres, eso te lo dejo a ti, entonces esa es la solución particular de tu ecuación.

2. El segundo es un poco similar, la idea es buscar los términos comunes y agruparlos, factorizar bien.

$$\begin{align}&x'=\frac{dx}{dt}\\ &\\ &2tx^2+2t+(t^4+1)x'=0\\ &2t(x^2+1)+(t^4+1)\frac{dx}{dt}=0\\ &2t(x^2+1)=-(t^4+1)\frac{dx}{dt}\\ &\frac{2t}{t^4+1}dt=-\frac{dx}{x^2+1}/\cdot\int\\ &(i)\int{\frac{2t}{t^4+1}dt}=(ii)-\int{\frac{dx}{x^2+1}}\\ &\\ &(i)\int{\frac{2t}{t^4+1}dt}=\int{\frac{2t}{(t^2)^2+1}dt}\\ &u=t^2\\ &du=2tdt\\ &\\ &\int{\frac{2t}{(t^2)^2+1}dt}=\int{\frac{du}{u^2+1}dt}=arctg(t^2)+c\\ &\\ &(ii)-\int{\frac{dx}{x^2+1}}=-arctg(x)+c\\ &\\ &arctg(t^2)=-arctg(x)+c\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Ahora buscamos la solución particular, teniendo la general.

$$\begin{align}&x(0)=1-->;x=1;t=0\\ &\\ &arctg(t^2)=-arctg(x)+c\\ &arctg(0)=-arctg(1)+c\\ &0+arctg(1)=c\\ &\frac{\pi}{4}=c\\ &\end{align}$$

Para el tercero el procedimiento es similar, lo despejare no mas

3.

$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}=\frac{xy-3y+x-3}{xy+2y-x-2}\\ &\frac{dy}{dx}=\frac{-3(y+1)+x(y+1)}{2(y-1)+x(y-1)}\\ &\frac{dy}{dx}=\frac{(y+1)(x-3)}{(y-1)(x+2)}\\ &\frac{(y-1)}{(y+1)}dy=\frac{(x-3)}{(x+2)}dx/(\int)\\ &(i)\int{\frac{(y-1)}{(y+1)}dy}=(ii)\int{\frac{(x-3)}{(x+2)}dx}\end{align}$$

Los dejo expresados tu desarrolla las integrales, si no me equivoco ambas integrales salen por sustitución simple.

Recuerda que no debes dejar los diferenciales en el denominador y como el "c"siempre es una constante la puedes expresar del modo que te acomode.