Ejemplo de derivadas en la vida cotidiana
Una empresa estima que el costo, en dólares, de
producción de x unidades de cierto producto es C=800+0.04x+0.0002x2.
Calcular el nivel de producción que hace mínimo
el costo medio por unidad. Si sabemos que
el costo medio se denomina C y es igual a C= c/x
Calculamos la función coste medio
CM(x) = C(x) / x = 800/x + 0.04 + 0.0002x
Y ahora calculamos la derivada y la igualamos a 0 para calcular el mínimo
CM '(x) = -800/x^2 + 0.0002 = 0
Multiplicamos por x^2
-800 + 0.0002x^2 = 0
0.0002x^2 = 800
x^2 = 800 / 0.0002 = 4.000.000
x = 2000
También salía la solución -2000 pero la producción n puede ser negativa.
Vamos a comprobar que 2000 es un mínimo, para ello calculamos la derivada segunda
CM ''(x) = -800(-2x)/x^4 = 1600/x^3
Y en x=2000 la derivada segunda es positiva, por eso 2000 es un mínimo.
Luego el nivel de producción que hace mínimo el coste medio es 2000 unidades.
Y eso es todo.
