Resolución Integrales con Cambio de Variable

Estas integrales son de las más complicadas y laboriosas que hay, a veces me he pegado horas con alguna de ellas. Así que te explico como se hace y luego si quieres la resolución completa mandas cada una en una pregunta distinta.

El cambio t = tg(x/2) solo hay que usarlo sino no salen de otra forma. Tras el cambio queda una integral racional, es decir un polinomio en el numerador y otro en el denominador. Dependiendo del grado de los polinomios y del tipo de raíces del denominador puedes buscarte la ruina para resolverlas.

Puesto que te mandan este tipo de integrales se supone que te han enseñado la teoría para resolverlas, es que aquí es muy mal sitio para demostrar de donde vienen las sustituciones con este editor que irá bien para literatura pero mal para matemáticas.

Del cambio de variable t = tg(x/2) se derivan estas sustituciones

senx = 2t/(1+t^2)

cosx = (1-t^2)/(1+t^2)

dx = 2dt/(1+t^2)

Y eso es lo que debes saber y aplicar.

Vamos con la primera

$dx/(senx+3) = $[2dt/(1+t^2)] / [2t/(1+t^2) + 3] =

El denominador hay que dejarlo con denominador común

$[2dt/(1+t^2)] / [(2t+3+3t^2)/(1+t^2)] =

Asi ahora podemos simplificar los 1+t^2

$2dt / (3t^2+2t +3)

Y la segunda

$[(2-senx)/(2+senx)]dx =

Pondremos el dx como primer factor simplemente porque conviene hacerlo con este editor

$[2dt/(1+t^2)]·[2-2t/(1+t^2)] / [2+2t/(1+t^2)] =

Ponemos todas las sumas con denominador común

$[2dt/(1+t^2)]·[(2+2t^2-2t)/(1+t^2)] / [(2+2t^2+2t)/(1+t^2)] =

Operamos algo

2$[(2t^2-2t+2)/(1+t^2)^2] dt / [(2+2t^2+2t)/(1+t^2)] =

2$(t^2-t+1) dt / [(t^2+t+1)(1+t^2)]

Y eso es todo. La segunda es impresionante. Intenta hacerlas si puedes, si no puedes mándamelas de una en una. Si es que lo malo es que aquí no se puede escribir tal cual se escribe en el folio, por eso se pierde mil veces más tiempo pensando en los paréntesis y corchetes que hay que poner y encima queda todo mucho menos entendible. Hay ejercicios que definitivamente se hacen insufribles por culpa de esto.