Minimizar suma de distancias.
Tres pueblos A,B y C se hallan en los vértices de un triángulo isósceles de lados 13,13,10 Km.Se quiere construir un depósito de agua en algún punto P de la altura AH que dé suministro a los tres pueblos.a) Hallar una función que exprese la suma de distancias S ,de P a los vértices A,B y C ,utilizando como variable la distancia x=PH,y especificar el dominio que corresponde al caso.b) Dónde hay que depositar el depósito para que S sea la menor posible?. C) Demuestra que colocar el depósito en A es la peor solución. ( El vértice A está situado en la intersección de los dos lados iguales del triángulo isósceles). AH es la altura del triángulo)(P se encuentra en dicha altura y x es la distancia PH.Gracias por su atención
1 Respuesta
Vamos a poner el triángulo apoyado y centrado en el eje X sobre el lado de 10 Km
Luego el punto B es (-5,0) y el C es (5,0)
El punto A esta sobre el eje Y y calculamos la altura por el Teorema de Pitágoras
h = sqrt (13^2 - 5^2) = sqrt (169-25) = sqrt(144) = 12
Qué bien ha salido, el punto es A(0,12)
Los puntos sobre los que se puede construir el tanque son los del eje Y
Sea (0, x) un punto de esos
La suma de las distancias será
d(x) = 12-x + sqrt(5^2+x^2) + sqrt(5^2+x^2)
d(x) = 12-x + 2 sqrt(25+x^2)
derivamos e igualamos a cero para calcular los máximos y mínimos
d'(x) = -1 + 2x / sqrt(25+x^2) = 0
2x / sqrt(25+x^2) = 1
2x = sqrt(25+x^2)
elevamos al cuadrado
4x^2 = 25 +x^2
3x^2 = 25
x^2 = 25/3
x = +- sqrt(25/3)
El punto con signo - situado por debajo del eje X no sirve ya que no está en la altura AH, aparte de que va a dar distancias más grandes a simple vista
Luego el mínimo está en el punto
(0, sqrt(25/3))
aproximadamente
(0, 2.886751346)
Cuando una función es continua y derivable en un intervalo [a, b] tiene los máximos o mínimos absolutos un los puntos críticos o en los puntos a y b
Examinemos las distancias para esos puntos
Para el que hemos calculado
d= 12- sqrt(25/3) + 2 sqrt(25+25/3) = 12 - sqrt(25/3) + 2 sqrt(100/3) =
12 - sqrt(25/3) + 4 sqrt(25/3) = 12 + 3sqrt(25/3)
aproximadamente
20.66025404
Para el punto A(0,12)
d=13+13 = 26
Para el punto H
d = 12+5+5 = 22
Luego el peor sitio es el punto A.
Y eso es todo.
Me aclaro fenomenal con usted.Casi lo tenía hecho.Concluí diciendo: el dominio es (0,12).Como S(12) es mayor que S(raíz de 25 tercios) y también es mayor que S(0),entonces S(12) es la peor solución.Puse los intervalos de crecimiento y de decrecimiento siendo esos intervalos (0,raíz de 25 tercios) y (raíz de 25 tercios,12 ) respectivamente.Gracias por su atención.
