Probelma de probabilidades de Distribución de Poisson
El número de baches en una carretera estatal que requiere reparación urgente, puede modelarse con una distribución de Poisson que tiene una media de 3.7 baches por kilómetro.
¿Cual el la probabilidad de que :
a) ¿Haya baches en un tramo de cinco Kms?
b) ¿Sea necesario reparar un bache en un tramo de medio Km?
c) ¿Sea necesario reparar al menos dos baches en un tramo de 700 mts?
a) La probabilidad de que haya baches será 1 menos la probabilidad de que no haya.
El parámetro lambda de la distribución es el número de baches esperado en los 5 km.
Ya que la media es de 3.7 baches por km, en 5 km se esperan 5 x 3.7 = 18.5 baches.
Y ahora calculamos la probabilidad de que no haya baches
P(0) = e^(-18.5)·18.5^0 / 0! = e^(-18.5) = 9.23744966 x 10^(-9)
luego la probabilidad de que haya baches es
1-P(0) = 1 - 9.23744966 x 10^(-9) = 0.999999908
b) No está muy claro, pero se supone que deba haber un bache y solo uno.
Primero debemos adaptar el parámetro lambda del proceso de Poisson.
En medio km el número de baches que se espera es 3.7 / 2 = 1.85.
Y la probabilidad de un bache es
P(1) = e^(-1,85)·1.85^1 / 1! =
e^(-1.85) · 1.85 =0,1572371663 · 1.85 = 0.2898887577
c) Que haya que reparar 2 baches al menos significa 2, 3, 4, etc
La probabilidad es 1 menos la probabilidad de que haya 0, 1
P(>=2) = 1- P(<2)
Calculamos el parámetro lambda.
700m = 0.7km
luego el número de baches correspondientes es
0.7 · 3.7 = 2.59
Calculamos primero la probabilidad de < 2
P(<2) = P(0)+P(1) = e^(-2.59) (1.85^0 / 0! + 1.85^1 / 1!) =
e^(-2.59) (1 + 1.85) =
0.07502004009 · 2.85 = 0.2138071142
Y finalmente la probabilidad de 2 o mas
P(>=2) = 1 - P(<2) = 1 - 0.2138071142 = 0.7861928858
Y eso es todo.
