Teorema central del límite

Este ejercicio está deliberadamente escrito para que nos liemos con las medias y las medias de las medias y nos volvamos locos. Piensa que sea un ordenador que muestra un número aleatorio real entre 1 y 6, hemos probado con mil números y el promedio ha sido 3.46 y la desviación estándar ha sido 0.74.

Y ahora debemos ver la probabilidad de que pidiendo 36 números la media sea inferior a 3.3

Bueno los datos de media y desviación se han tomado mil veces, luego se supone que son auténticos.

En la Wikipedia puedes ver lo siguiente bien escrito:

Teorema del límite central

Teorema (del límite central): Sea X1, X2, ..., Xn un conjunto de variables aleatoria, independientes e idénticamente distribuidas de una distribución con media mu y varianza sigma cuadrado distinta de 0. Entonces, si n es suficientemente grande, la variable aleatoria

Media de las Xi
Tiene aproximadamente una distribución normal con la misma media que las variables y la varianza es la de las variables dividida entre n

El número 36 se considera grande en estos casos, por encima de 30 es grande

Esto quiere decir que la variable aleatoria media de los 36 números aleatorios

$$\begin{align}&\overline X=\frac{1}{36}\sum_{i=1}^{36}X_i\\ &\\ &tiene\\ &\\ &\mu_{\overline X}=3.46\\ &\\ &\sigma_{\overline X}^2=\frac{0.74}{36}= 0.02055555...\\ &\\ &\sigma=\sqrt{0.02055555...}=0.1433729878\\ &\\ &\overline X \;es\; una\; N(3.46,\;0.1433729878)\\ &\\ &Z=\frac{\overline X-3.46 }{0.1433729878}\; es \;una\; N(0,1)\\ &\\ &P(\overline X \lt 3.3)=P\left(Z\lt \frac{3.3-3.46}{0.1433729878}  \right)=\\ &\\ &P(Z\lt -1.115970326) =\\ &\\ &1- P(Z\lt 1.115970326)=\end{align}$$

Vamos a las tablas de la normal

Tabla(1.11) = 0.8665

Tabla(1.12) = 0.8686

y calculamos el valor por interpolación

Valor(1.115970326) = 0.8665+0.5970326(0.8686-0.8665) = 0.8677537685

Y la probabilidad era 1 menos esto

= 1 - 0.8677537685 = 0.1322462315