Sesgo y error cuadrático medio de estimadores puntuales. 13

8.13)

a) Un estimador es sesgado cuando su esperanza es distinta del valor de lo que está estimando. Lo que se está estimando es la varianza de Y, veamos que la esperanza del estimador no es la varianza de Y

E[n(Y/n)(1-Y/n)] = E[Y(1-Y/n)] = E(Y) - E(Y^2/n) =

E(Y) - E(Y^2) / n =

Como V(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 ==> E(Y^2) = V(Y) + [E(Y)]2, con lo que queda

= E(Y) - {V(Y)+[E(Y)]2} / n =

Y finalmente hacemos ya las sustituciones E(Y)=np; V(Y)= np(1-p)

np - [np(1-p) + (np)^2] / n=

np - p(1-p) - np^2

E[n(Y/n)(1-Y/n)] = np - p + p^2 - np^2

Mientras que

V(Y) = np(1-p) = np - np^2

Y si queremos forzar que sean iguales

np - p + p^2 - np^2 = np - np^2

- p + p^2 = 0

p^2 = p

Y debe ser p=0 o p=1. Pero nadie nos obligaba a elegir p de esa forma, aparte que esos valores de p hacen que la binomial carezca de sentido.

Luego si, es un estimador sesgado.

b)

He de decir que he mirado la respuesta. La pregunta decía modifique ligeramente, y modificaciones ligeras hay miles. Si hubieran dicha dicho, halle un factor que haga que el estimador sea insesgado, entonces lo habría hecho, pero así no se me ocurrió. Viendo la esperanza y la varianza a nadie le viene a la cabeza que multiplicando la esperanza del estimador por n/(n-1) obtienes la varianza.

Ahora que ya lo sabemos lo comprobaremos. Más fácil si tomamos la varianza y la multiplicamos por (n-1)/n y tiene que dar la esperanza del estimador

(np - np^2)(n-1)/n = (n^2p - n^2·p^2 - np + np^2) / n = np - np^2 - p +p^2

Que es exactamente lo que habíamos calculado.

Luego si tomamos el estimador

n·[n/(n-1)]p(1-p) su varianza será V(Y) y será insesgado.

Y eso es todo.