Problema de función y derivada, por favor necesito ayuda
$$\begin{align}&f(x)= \sqrt{7x-1}---> \frac{1}{7}<x \leq\frac{65}{7}\\ & ........(7x)^2-1-->\frac{-3}{7}\leq x \leq\frac{1}{7}\end{align}$$Por favor necesito
-- puntos de corte si los hay
-- Estudio de continuidad si es continua en todo el dominio
-- ¿Es derivable en todo su dominio?
--Hallar los extremos
--Crecimiento y concavidad de la función
-- A partir de los requisitos encuentra razonadamente alguna función que los cumpla
Se que son varias preguntas en una, pero me cuesta mucho trabajo hacer la función en este editor, por favor un poco de ayuda
1 Respuesta
La raíz cuadrada será 0 cuando lo sea el radicando
7x-1= 0
x = 1/7
x=1/7 no pertenece al dominio de la función de la raíz cuadrada
Y la otra parte de la función es cero cuando
(7x)^2 - 1 = 0
(7x)^2 = 1
7x = +- 1
x = +- 1/7
ambos puntos pertenecen al dominio -3/7 <= x <= 1/7 luego sirven
Luego los cortes con el eje X son
(-1/7, 0) y (1/7, 0)
El corte con el eje Y es cuando x=0 liego la función tiene la forma
f(0) = (7·0)^2 - 1 = -1
Y el corte con el eje Y es
(0, -1)
Las funciones raíz cuadrada y cuadrado son continuas, la función no tendrá ningún problema de continuidad salvo acaso en el punto donde se pasa de una definición a otra.
Pero tal como hemos calculado antes
f(1/7) = (7·1/7)^2 -1 = 1^2-1 = 0
lim x-->1/7 por izda = lim x-->1/7 de (7x)^2-1 = 1^2-1 = 0
lim x-->1/7 por dcha = lim x -->1/7 de sqrt(7x-1)= sqrt(1-1) = sqrt(0) = 0
Luego coinciden los límites laterales y coinciden con el valor de la función, por lo tanto la función es continua en x=1/7 y lo es en todo el dominio.
La derivada del primer trozo de la función salvo el punto 1/7 o sea en [-3/7, 1/7)
f'(x) = 2(7x)·7 = 98x
y la del segundo en (1/7, 65/7)
f'(x) = 7 / [2·sqrt(7x-1)]
Solo podría haber problemas en 1/7 que es cero el denominador, pero en 1/7 lo la habíamos calculado todavía
La derivada en x=1/7 existirá si coinciden la derivada izquierda y la derecha.
La izquierda tiene valor 98·1/7 = 98/7
La derecha cuándo x tiende a 1/7 es de la forma 7/(2·0) = 7/0 = infinito
Luego no coinciden y por lo tanto no hay derivada en x=1/7
Contestando a la pregunta: No es derivable en todo su dominio ya que no lo es x=1/7
Los extremos relativos son puntos donde la derivada es nula o aquellos donde no existe pero el valor de la función es extremo relativo en un entorno.
Recordando que las derivadas eran
f'(x) = 98x en [-3/7, 1/7)
f'(x) = 7 / [2·sqrt(7x-1)] en (1/7, 65/7)
hay un extremo relativo en
98x = 0
x=0
que pertenece a [-3/7, 1/7) luego sirve
El punto (0, -1) es un extremo relativo
En el punto (1/7) tenemos que la derivada por la izquierda es positiva luego la función crece
Y por la derecha la derivada tiende a +infinito luego también crece por la derecha. Como crece antes y después no es un extremo relativo.
Y los extremos absolutos son o los extremos relativos o los valores de la función a la izquierda de todo el intervalo o a la derecha del todo
f(-3/7) = (7(-3/7))^2 - 1 = (-3)^2 - 1 = 9-1 = 8
f(65/7) = sqrt(7(65/7)-1) = sqrt(65-1) = sqrt(64) = 8
En ambos puntos vale lo mismo, luego los extremos absolutos son
Máximos absolutos (-3/7, 8) y (65/7, 8)
Mínimo absoluto (0, -1)
El crecimiento es donde la derivada es positiva y el decrecimiento donde es negativa
f'(x) = 98x en [-3/7, 1/7)
f'(x) = 7 / [2·sqrt(7x-1)] en (1/7, 65/7)
En el primer trozo es negativa hasta 0 y luego positiva, en el segundo siempre positiva.
Es creciente en [-3/7, 0)
Es decreciente en (0, 65/7)
La concavidad hacia arriba es donde la derivada es positiva (forma de U) y la concavidad hacia abajo es cuando es negativa (forma de n), Las palabras concavidad y convexidad se han manifestado confusas, en cada país o cada persona opina lo contrario de ellas.
La derivada segunda por la izquierda es
f''(x) = 98 en [-3/7, 1/7) siempre positiva
Y por la derecha es
$$\begin{align}&f'(x)=\frac{7}{2 \sqrt{7x-1}}= \frac 72(7x-1)^{-\frac 12}\\ &\\ &\\ &f''(x)=-\frac{49}{2}(7x-1)^{-\frac 32}\end{align}$$Cmo x>1/7 ==>7x-1>0 y la derivada segunda es siempre negativa.
Luego la función es cóncava hacia arriba en [-3/7, 1/7) y cóncava hacia abajo en (1/7, 65/7)
La última pregunta no la entiendo.
