Paga extra

Otra cosa sería si tuviera 2 pagas de 775, o si la paga de 775 fuera semestral. Entonces tu propuesta sería correcta.

Por lo que me dices el trabajador solo tiene una paga extra anual, independientemente de que el contrato sea de 6 meses. Por lo tanto si en contrato es de 6 meses, al final la paga extra que le corresponderá será la mitad, es decir 775 : 2 = 387,50. Cobraría esta cantidad si hubiera trabajado los 6 meses ya. Pero al día 30 de junio solo ha devengado 51 días de los 182,50 (se cuenta el año natural: 365/2), por lo que cobraría:
387,50 * 51/182,50 = 108
Tienes que tener en cuenta que la paga que cobra es ANUAL, por lo que la que le corresponde es la mitad.
Tu corrección estaría bien si supondrías que la paga en vez de 775 es 387,50 (la mitad) y quedaría según tu propuesta:
387,50/180*51
Aunque en vezde 180 habría que poner 182,50 (365/2)

En realidad cobra una paga extra prorrateada en nómina y luego tiene una de verano y otra de navidad de 775 euros cada una.
¿No le tocaría también la parte proporcional de la de navidad