Reclamación judicial daños

No te pueden poner ninguna pega de acceder al atestado, es del juzgado y no de la aseguradora.
Mira lo del abogado, te dicen que puedes designar uno, no que te abonen la minuta del mismo, revisa esta situación para evitar melentendidos y ... sobre todo, tener testigos, si no los tienes es difícil que prospere la demanda (salvo que el atestado sea favorable).

Si no te dan el atestado, como mínimo deberían informarte que dice en él. De todas maneras, como respuesta a tu pregunta, no, no pueden negarse a dárselo a tu abogado, ya que eso significaría que la parte demandada oculta información sobre el caso. Eso te lo explicará mejor tu abogado que yo.
Mi consejo es que, si dispones de abogado, le consultes a él. La policía no te dio el atestado a ti por que es algo que está "hecho" para las aseguradoras y son los responsables de estas o, en su defecto, las personas desigandas las responsables de recogerlo. El tema de enseñártelo creo que depende de la buena voluntad de tu aseguradora.
No te puedo decir más, yo, personalmente considero que a tu abogado se lo deberán enseñar, pero de todas maneras háblalo con él. Sabrá más de juicios y leyes que yo.
Suerte!

A ver, sin saber y conocer todo el proceso vivido y como se produjo el accidente, circunstancias, etc..., es difícil de decir. Su seguro no quiere proceder a las reclamaciones judiciales pertinentes de daños, imagino que eso será por algún motivo, así mismo, la vía judicial tiene riesgos, el primero que no nos den la razón, el segundo que le den la razón al otro y tengamos que correr con todas las costas judiciales, el tercero, puede existir una insolvencia del otro implicado y no serviría de gran cosa. Así, sin saber nada del caso es muy difícil aconsejarte correctamente.