¿Tengo qué abonar las costas del hospital?

Si en el hospital diste los datos de los vehículos implicados y como dices recibiste tú el golpe, deberá pagar los gastos la aseguradora del causante a través de su seguro obligatorio, por lo que a ti no te cobrarán nada, a este respecto tienes que estar tranquilo.
Lo que también deberás tener en cuenta por si te interesa, es que además de los gastos médicos y farmacéuticos, también te deberán pagar por los días que has estado de baja o impedido, esto es, por los días que has estado con el proceso de daños o lesiones y por ello cobrar un tanto diario que será indicado por el forense. El caso te recomiendo lo pases a manos de un abogado, si no tienes seguro a uno especializado que se dedique a reclamaciones por lesiones, suelen cobrar un tanto de lo que cobrarás, te recomendarán lo que debes hacer y además obtendrán una indemnización por los días que has tendido como lesionado y las secuelas que te haya dejado.

¿Esto es seguro no? Ya que he hecho un seguro nuevo, donde mi aseguradora me dijo que le podría reclamar a la parte contraria, pero que seguramente me tocaría a mi pagarlo todo ya que circulaba por la vía publica sin seguro y debido a ello la culpa es mía...

Date de baja de esa aseguradora, bueno, no se si te ha asesorado un agente de la compañía o la misma directamente, pero no te han dicho nada bien.
Como te digo puedes reclamar, ponte en contacto con un abogado que se dedique a esto y verás como no tienes que anticipar nada.ç
A ti te han pegado y dañado y ya basta con eso, además la parte que tu has cometido infracción ya te han pasado la factura, de lo demás del golpe, tu tienes derecho a cobrar todo y a que la aseguradora causante te pague todos los gastos de curación y las posibles secuelas.