La diferencia entre ambos tipos de contratos reside en el objeto del mismo y la obligación del contratado, tal y como se regula en los artículos 1542, 1544, 1583 y ss. Del Código Civil.
En un contrato de Arrendamiento de Obra, el objeto es obtener el producto concreto de una obra, que el contratado (arrendatario) se obliga a producir (por ejemplo, contratar a un albañil para reformar un aseo). En un contrato de Arrendamiento de Servicios, el objeto es el servicio mismo, que el contratado se obliga a prestar (por ejemplo, contratar a un chófer de bus para una concreta excursión).
Las Hojas de Encargo que firmamos los abogados son Contratos de Arrendamiento de Servicios. No nos comprometemos a obtener una sentencia favorable, pues no podemos estar seguros de conseguirla (como si el producto de una obra fuera). Nos comprometemos a poner nuestro conocimiento y tiempo en la consecución de un procedimiento judicial o extrajudicial.
Por lo dicho, yo no puedo saber si el abogado llevó a cabo todas las gestiones, esfuerzo y trabajo para obtener la sentencia y su nombramiento como tutor, y si sólo faltó esto último. Tal y como usted dice, parece que faltó una gestión final y que no debería cobrar esa cantidad, pero yo no puedo saber si el abogado trabajó para conseguirlo hasta ese fallecimiento.
Si usted está seguro de que no es así, opóngase al requerimiento y defienda ése punto de vista. Tras oponerse, seguramente el abogado preferirá un acuerdo a un pleito.
Por la cuantía, sería un juicio verbal al que no necesita ir con abogado y procurador. Pero eso no quiere decir que "no le salga a cuenta" acudir a otro abogado, pues una simple consulta con examen de documentos no sale caro. Pida presupuesto por esa opinión, o incluso por la redacción de la oposición.