Prueba que los siguientes subespacios no son homeomorfos
Prueba que ninguno de los siguientes subespacios de
$$\begin{align}&R^2\end{align}$$son homeomorfos. Observa que tienes que probar que no son homeomorfos seis pares de espacios. Sugerencia: utiliza los puntos de corte de tipo n de cada espacio:
1 Respuesta
Amo Mo!
Si un punto x tiene orden de corte n en un espacio (X, T) entonces su imagen por un homeomorfismo f(x) tendrá orden de corte n en el espacio imagen.
En el cuadrado todos los puntos tienen orden 1, ya que al suprimir un punto queda una componente conexa.
En la figura b los puntos extremos tienen orden de corte 1 y el resto tiene orden de corte 2
En la figura c hay infinitos puntos de orden de corte 1, los del triángulo salvo el vértice que le une al segmento y hay infinitos puntos de orden de corte 2 en el segmento y el extremo del segmento es de orden de corte 1
En la figura d hay 4 extremos de orden 1, todos los segmentos menos el vértice son de orden 2 y el vértice es de orden 4.
Luego puede verse que no hay homeomorfismo posible
La figura d no es homeomorfa a ninguna de las otras por tener un punto de corte de orden 4.
La figura a no es homeomorfa a ninguna porque todas las demás tienen algún punto de ordende corte superior a 1
Y las figuras b y c no son homeomorfas porque b solo teine tres puntos de orden 1 y c tiene infinitos.
Y eso es todo.
¡Gracias! excelente su apoyo, le agradezco como siempre el apoyarme y así me quede claro el desarrollo de este tipo de problema.
saludos.
