¿Cómo demostrar las propiedades de los números complejos?
Demostrar las propiedades de los números complejos utilizando la suma y la multiplicación de complejos.
Gracias :)
1 respuesta
Suma y producto de números complejos
Dados dos números complejos a + b.i y c + d.i se definen su suma y su producto como sigue:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
El producto puede hacerse operando con i como si fuese un número real y teniendo en cuenta que i² = -1.
(a + bi)(c + di) = ac + a.d.i + b.c.i + b.d.i² = ac + i(ad + bc) + bd.(-1) = ac - bd + i (ad + bc)
Propiedades de la suma de números complejos
La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:
· Conmutativa
Dados dos números complejos a + b.i y c + d.i se tiene la igualdad:
(a + b.i) + (c + d.i) = (c + d.i) + (a + b.i)
Ejemplo:
(2 - 3 i) + (-3 + i) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2 i
(-3 + i) + (2 - 3 i) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2 i
· Asociativa
Dados tres complejos a + b.i, c + d.i y e + f.i , se cumple:
[(a + b.i) + (c + d.i)] + (e + f.i) = (a + b.i) + [(c + d.i) + (e + f.i)]
Ejemplo:
(5 + 2 i) + (3 - 4 i)] + (-9 + 8 i) = (8 - 2 i) + (-9 + 8 i) = -1 + 6 i
(5 + 2 i) + [(3 - 4 i) + (-9 + 8 i)] = (5 + 2 i) + (-6 + 4 i) = -1 + 6 i
· Elemento neutro
El elemento neutro es 0 + 0 i ,puesto que
(a + b.i) + (0 + 0 i) = (a + 0) + i (b + 0) = a + b.i
El número 0 + 0 i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».
· Elemento simétrico
El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + b.i es (- a - b.i):
(a + b.i) + (-a - b.i) = 0 + 0 i= 0
Ejemplo:
El simétrico de 2 - 3 i es -2 + 3.i pues (2 - 3 i) + (-2 + 3 i) = 0
Propiedades del producto de complejos
· Conmutativa
Dados dos complejos a + b.i y c + d.i , se cumple que:
(a + b.i).(c + d.i) = (c + d.i) (a + b.i)
Ejemplo:
(7 - i).(5 + 2.i) = 35 + 14.i - 5.i -2.i² = 35 + 9.i - 2.(-1) = 37 + 9.i
(5 + 2.i).(7 - i) = 35 - 5.i + 14.i -2.i² = 35 + 9.i - 2.(-1) = 37 + 9.i
· Asociativa
Dados los complejos a + bi, c + d.i y e + f.i se cumple que:
[(a + b.i) (c + d.i)](e + f.i) = (a + b.i) [(c + d.i) (e + f.i)]
Ejemplo:
[(2 - 3.i).(5 + i)].(4 - 7.i) = (10 + 2.i - 15.i - 3.i²).(4 - 7.i) = (13 - 13.i).(4 - 7.i) = 52 - 91.i - 52.i + 91.i² =
= - 39 - 143.i
(2 - 3.i).[(5 + i).(4 - 7.i)] = (2 - 3.i).(20 - 35.i + 4.i - 7.i²) = (2 - 3.i).(27 - 31.i) = 54 - 62.i - 81.i + 93.i² =
· Elemento neutro
El elemento neutro del producto es 1 + 0 · i = 1, puesto que para cualquier complejo
a + b.i , (a + b.i) (1 + 0. i) = (a + b.i).1 = a + b.i.
El elemento neutro es el uno.
· Distributiva del producto con respecto a la suma
Dados tres números complejos a + b.i, c + d.i y e + f.i, se cumple:
(a + b.i).[(c + d.i) + (e + f.i)] = (a + b.i) (c + d.i) + (a + b.i).(e + f.i)
Ejemplo:
(1 - 2 i) [3 i + (2 - 7 i)] = (1 - 2 i) (2 - 4 i) = 2 - 4 i - 4 i + 8 i² = -6 - 8 i
(1 - 2 i) 3 i + (1 - 2 i) (2 - 7 i) = (3 i - 6 i²) + (2 - 7 i - 4 i + 14 i²) = (3 i + 6) + (-12 - 11 i) = - 6 - 8 i
El conjunto de los números complejos, por contar con todas las propiedades anteriores para la suma y para el producto, se dice que es un anillo conmutativo.
El conjunto de los números complejos se simboliza por C, o también (C, +, ·).
· Elemento simétrico respecto del producto
Dado un complejo cualquiera a + b.i, distinto de 0 + 0 i, existe otro complejo que, multiplicado por él, da el elemento neutro del producto, es decir, 1 + 0 i.
Demostración:
Se intentará calcular el inverso de a + b.i, x + y.i.
Ha de verificarse que (a + b.i) (x + y.i) = 1 + 0 i
(a + b.i).(x + y.i) = (ax - by) + (ay + bx) i . Por tanto ha de ser:
ax - by = 1, multiplicando por a se tiene: a² x - aby = a
bx + ay = 0, multiplicando por b se tiene: b² x + aby = 0
Sumando (a² + b²).x = a ⇒ x = a/(a² + b²)
Despejando y en la segunda ecuación:
El inverso de un número complejo z = a + b.i , se suele denotar por 1/z ó z-1.
Por tanto, si z = a + b.i ,
1/z = a/(a² + b²) - b.i/(a² + b²)
El conjunto de los números complejos es un cuerpo conmutativo con la suma y el producto definidos.
Gracias por el aporte, pero en realidad lo que busco es como demostrar que estas propiedades son verdaderas, como lo mencionas en la parte del elemento simétrico respecto al producto
Para demostrar que (C,+, x) es un cuerpo debemos demostrar que:
I) (C,+) cumple las propiedades Asociativa, conmutativa, tiene neutro y existe inverso aditivo para todo elemento de C.
II) (C, x) cumple las propiedades asociativa, conmutativa, tiene neutro y existe inverso multiplicativo para todo elemento de C.
III) Por último se debe demostrar que la multiplicación es distributiva con respecto a la adición.
I) a) Demostración de la asociatividad de la suma.
Sean z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i y z3 = a3 + b3i.
Debemos demostrar que (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
(z1 + z2) + z3 = [(a1 + b1i) + (a2 + b2i)] + (a3 + b3i) = [(a1 + a2) + (b1 + b2)i] + (a3 + b3i) = (a1 + a2 + a3) + (b1 + b2 + b3) i = [a1 + (a2 + a3)] + [b1 + (b2 + b3)]i = (a1 + b1i) + [(a2+a3) + (b2+b3)i]=z1 + (z2+z3) CQD.
(Aquí se aplicó la definición de suma en C, así como el hecho que a1, a2, a3, b1, b2 y b3 son números reales y sabemos que en reales la adición es asociativa)
b) Demotración de la conmutatividad de la suma, es decir que z1 + z2 = z2 + z1
Sean z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i y hagamos
z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2) i = (a2 + a1) + (b2+b1) i = z2 + z1
c) Demostración del a existencia del neutro para la suma en C y que es único.
Sea z = a + bi. Debo hallar un w = c + di tal que z + w = z.
Supongamos que w = x + yi. Entonces
(a + bi) + (x + yi) = a + bi; por definición de adición en C, se tiene que
(a + x) + (b + y)i = a + bi.
Pero dos números complejos son iguales si sus partes reales e imaginarias son iguales, entonces tenemos que
a + x = a
b + y = b
Las igualdades anteriores son reales y resolvemos las ecuaciones como en reales, lo que nos da
x = 0
y = 0.
Entonces w = 0 + 0i.
CON ESTO DEMOSTRAMOS QUE EXISTE AL MENOS UN NEUTRO. Ahora debemos demostrar que es único. Para ello supondremos que existe un w* en C tal que cumple que
z + w* = z, (1)
pero ya teníamos que w es tal que
z + w = z (2)
haciendo igualación de las expresiones 1 y 2 se tiene que
z + w* = z + w, cancelando z nos queda que w* = w.
Esto nos indica que el neutro aditivo en C,+ es único.
d) Ahora debemos probar que para todo z E C existe un inverso aditivo y que es único para cada z.
D1) Probemos que existe un inverso aditivo para cada z E C. Esto es probar la existencia de un z* tal que z + z* sea igual al neutro.
Sea z = a + bi y hagamos que z* = a* + b*i, entonces procedemos así
z + z* = 0
(a + bi) + (a* + b*i) = 0 + 0i
Por definición de suma en C y por el hecho de que dos números complejos son iguales si sus partes reales e imaginarias son iguales se tiene que:
a + a* = 0
b + b* = 0
Entonces a* = -a y b* = -b
z* = -a - bi y en lugar de z* podemos escribir -z.
POR LO TANTO EXISTE EL INVERSO ADITIVO PARA TODO z E C y es -z.
D2) Para demostrar la unicidad de este inverso aditivo simplemente suponemos que existe otro y ser verifica al final que es el mismo.
Sea z E C, z = a + bi, -z = -a - bi y supongamos que existe z* = a* + b*i tal que z* + z = 0, pero resulta que z + (-z) también es 0. Entonces
z + (-z) = z* + z, cancelando z en ambos miembros se tiene que
-z = z*.
Hasta aquí hemos demostrado todas las propiedades de la adición en c.
NOTA: No hace falta demostrar que el neutro y el inverso son neutro a izquierda y derecha e inverso a izquierda y derecha porque se demostró que la adición es conmutativa, entonces verifica que el neutro es el mismo en ambos sentidos, igual para el inverso.
Para el Producto sería parecido.
