Despeje constante en la aceleración

Diego Martinez!

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo luego

$$\begin{align}&\frac {dv}{dt}=0.4(1-kv)\\ & \\ & \frac{dv}{1-kv}= 0.4 dt\\ & \\ & \text{integrando en los dos lados y poniendo}\\ &\text{la constante más adecuada en el lugar más adecuado}\\ & \\ & \frac{-ln (1-kv)+lnC_1}{k}=0.4t \\ &\\ &ln\left( \frac{C_1}{1-kv}\right)=0.4kt\\ &\\ &\frac{C_1}{1-kv}=e^{0.4kt}\\ &\\ &\frac{1-kv}{C_1}=e^{-0.4kt}\\ &\\ &1-kv = C_1e^{-0.4kt}\\ &\\ &v = \frac{1-C_1e^{-0.4kt}}{k}\\ &\\ &\text{Podemos hacer el ajuste definitivo de }C_1\\ &\\ &v(t)=\frac 1k+C_1e^{-0.4kt}\\ &\\ &\text{Para t=15 es v=4 luego}\\ &\\ &4=\frac 1k+C_1e^{-6k}\\ &\\ &C_1=\frac{4-\frac{1}{k}}{e^{-6k}}= \frac{4k-1}{ke^{-6k}}\\ &\\ &v(t)=\frac 1k+\frac{4k-1}{ke^{-6k}}e^{-0.4kt}\\ &\\ &v(t)=\frac{1+(4k-1)e^{k(6-0.4t)}}{k}\\ & \\ & \end{align}$$

$$\begin{align}& x(t)=\int\frac{1+(4k-1)e^{k(6-0.4t)}}{k}dt + C_2\\ &\\ &x(t) = \frac{4k-1}{k}e^{k(6-0.4t)}·\frac {-1}{0.4k}+C_2\\ &\\ &x(t)=\frac{(1-4k)e^{k(6-0.4t)}}{0.4k^2}+C_2\\ &\\ &\text{Y en t=0 debe valer 4}\\ &\\ &\frac{(1-4k)e^{6k}}{0.4k^2}+C_2=4\\ &\\ &C_2=4-\frac{(1-4k)e^{6k}}{0.4k^2}\\ &\\ &luego\\ &\\ &x(t)=\frac{(1-4k)e^{k(6-0.4t)}}{0.4k^2}+4-\frac{(1-4k)e^{6k}}{0.4k^2}\\ &\\ &x(t) = \frac{(1-4k)\left(e^{k(6-0.4t)}-e^{6k}\right)}{0.4k^2}+4\\ &\\ &x(t)=\frac{(1-4k)e^{6k}(e^{-0.4kt}-1)}{0.4k^2}+4\end{align}$$

Y esa es la ecuación de posición de la partícula.  La k no se puede despejar es un valor que te tendrían que dar, pero no te lo han dado para que así hayas tenido que hacer cuentas más complicadas.

Bueno es que me piden determinar que, es decir, darle el valor numérico que le corresponde, y la respuesta es k=0.1457, pero yo igual saque esas integrales y todo, pero no se como resolver para darle el valor que le corresponde a que :(

las "que" son k, el corrector los cambio

Para poder calcular k necesitarás que te den un dato más, otra velocidad o posición en un instante. Con los dos que te han dado tienes los justos para calcular las constantes de integración que hemos calculado, nada más que te dieran otro se podría despejar la k, pero si no no se puede. ¿Me diste el enunciado completo?

pues completo esto es lo que dice:

"La aceleración de una partícula se define mediante la relación a=0.4(1-kv), donde k es una constante. Si se sabe que en t=0 la partícula parte desde el reposo con x=4m, y que cuando t=15 s, v=4 m/s, determine a) la constante k, b) la posición de la partícula cuando v=6 m/s, c) la velocidad máxima de la partícula."

lo único que me gustaría saber es como conseguir determinar esa constante "k", los otros incisos los puedo hacer solo.

¡Ah, no lo había leído bien del todo! Se me había pasado por alto que parte del reposo, es decir v(0) = 0

Entonces vayamos arriba para trabajar lo menos posible, por ejemplo aquí

$$\begin{align}&\frac{C_1}{1-kv}=e^{0.4kt}\\ &\\ &\text{tendremos por v(0)=0}\\ &\\ &\frac{C_1}{1-k·0 }=e^0\\ &\\ &C_1=1\\ &\\ &\text{y por v(15)=4 tendremos}\\ &\frac{1}{1-15k}=e^{6k}\\ &\\ &e^{6k}(1-4k)=1\\ &\\ &e^{6k}(1-4k)-1=0\end{align}$$

y esta es una ecuación que no se puede resolover a mano, hace falta saber el método y cuanto menos tener una buena calculadora.  Normalmente solo se ponen estas ecuaciones cuando se está dando la asignatura de Análisis Numérico, ponerlas en ejercicios de otra asignatura es abusar del alumno.

Luego ya me dirás cuaál es el caso. Si quieres la resolvemos por Newton-Raphson, pero eso es un problema dentro de un problema que de por sí ya es un buen problema. He comprobado que la respuesta verifica la ecuación más o menos, yo creo que se podría obtener una respuesta más precisa.

oiga profe, creo que la ecuación a resolver sería 

$$\begin{align}&-4k+1=e(-6k)\end{align}$$

bueno e^(-6k), ya que al integrar la k es la constate en si, pero no se como se despejaria esa ecuación, ya que lo he intentado y las k no me quedan juntas :(

Es que yo la he puesto ya preparada para usar el método de Newton-Rapson, por eso parece menos simplificada. La tuya debería ser equivalente:

-4k + 1 = e^(-6k)

e^(6k)(-4k+1) = e^(-6k)·e^(6k)

e^(6k)(-4k+1) = 1

e^(6k)(-4k+1) -1 = 0

Pues no son equivalentes.

Yo tuve una errata con un 15 que se me olvidó corregir pero el resultado estaba bien, ahora lo haré par dejarlo de una forma como la tuya

$$\begin{align}&\frac{C_1}{1-kv}=e^{0.4kt}\\ &\\ &\text{tendremos por v(0)=0}\\ &\\ &\frac{C_1}{1-k·0 }=e^0\\ &\\ &C_1=1\\ &\\ &\text{y por v(15)=4 tendremos}\\ &\\ &\frac{1}{1-4k}=e^{6k}\\ &\\ &1-4k = e^{-6k}\end{align}$$

Has cambiado los signos de la parte izquierda.

y otra cosa, no se si a lo mejor con el otro dato que da el ejercicio el de si t=0 x=4, y sabiendo que parte del reposo se pueda hacer un sistema de ecuaciones para conseguir el valor de k, pero sinceramente la veo dificil, si no ya verifique con una calculadora que resuelve ecuaciones que si queda 0.145703, y namás se lo dejo expresado, y es  que igual aún con la expresión que tengo una respuesta valida también sería que k=0. Pero yo creo que solo le dejare expresado que k es igual a 0.145703 porque sí, como usted dice, yo todavia no llevo analisis númerico, la llevare hasta el próximo semestre.

Con el otro dato tendrás un sistema de 3 incógnitas y podrás calcular k y la ecuación de movimiento. Pero como lo único que te piden es el valor de k se puede hacer con menos trabajo.

La solución de

e^(6k)(1-4k)-1 = 0

mejor la ponemos como

1-4k - e^(-6k) = 0

tomamos un valor inicial aproximado por ejemplo el que nos dan

ko = 0.1457

Y hacemos iteraciones

$$\begin{align}&k_{n+1}=k_n - \frac{f(k_n)}{f'(k_n)}\\ &\\ &k_{n+1} = k_n - \frac{1-4k_n-e^{-6k_n}}{-4+6e^{-6k_n}} \\ &\\ &k_1=0.1457-\frac{1-4\,·\,0.1457-e^{-6\,·\,0.1457}}{-4+6e^{-6\,·\,0.1457}}=\\ &\\ &0.145702911\\ &\\ &k_2=0.145702911- \frac{1-4\,·\,0.145702911-e^{-6\,·\,0.145702911}}{-4+6e^{-6\,·\,0.145702911}}=\\ &\\ &0.145702911\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y ya está, no han hecho falta más iteraciones, esa es la respuesta

k=0.145702911

Si con todo este trabajo no piensas que sea excelente la puntuación no moveré un dedo en otras preguntas tuyas.