Tiro balístico
Mi pregunta es respecto a un problema que se me planteo hace unos días leyendo mis antiguos libros de física sobre el tiro parabólico todo esta claro para el caso de ausencia de aire pero a mi se me ocurrió agregarle a la ecuación un termino que tuviera en cuenta la resistencia del aire y ahí se me armo lio por que me resulto una ecuación enla que el resultado ¡Es undato de la ecuación¡ Y no se como despejarla
Para simplificar supongamos un tiro vertical con velocidad inicial Vi. La ecuación clásica de la velocidad en función del tiempo es: V=Vi-g.t
Pare considerar la resistencia del aire simplemente use la fórmula de Newton: Fr=k. &.S.V.V
Donde Fr: fuerza de rozamiento
k:Coeficiente de resistencia aerodinámico
&: densidad del aire
S: Área frontal del móvil
V: Velocidad del móvil
Pero como Fr=m.a puedo despejar la aceleracion y me queda:
a=k.&.S.V.V/m
siendo m la masa del movil
Introduciendo esta expresion en la de la velocidad me queda:
V=Vi - g.t - a.t
V=Vi - g.t - k.&.S.V.V.t/m
y llamando q=k.&.S./m
V=Vi - g.t - q.V.V.t
Como usted puede ver queda la velocidad en función del tiempo y de la misma velocidad al cuadrado (V.V) Multiplcada por el tiempo
Intente despejar V en función de t pero no pude
¿Esta bien el planteo matemático?
¿O hay que recurrir a un planteo de ecuaciones diferenciales?
Intente resolverlo numéricamente y logre una aproximación usando Exel, pero me interesa la solución analítica ya que esta modelización me resolvería varios problemas similares. ¡Y no hablemos si quisiera introducir la variación de la densidad & en función de la altura!
Para simplificar supongamos un tiro vertical con velocidad inicial Vi. La ecuación clásica de la velocidad en función del tiempo es: V=Vi-g.t
Pare considerar la resistencia del aire simplemente use la fórmula de Newton: Fr=k. &.S.V.V
Donde Fr: fuerza de rozamiento
k:Coeficiente de resistencia aerodinámico
&: densidad del aire
S: Área frontal del móvil
V: Velocidad del móvil
Pero como Fr=m.a puedo despejar la aceleracion y me queda:
a=k.&.S.V.V/m
siendo m la masa del movil
Introduciendo esta expresion en la de la velocidad me queda:
V=Vi - g.t - a.t
V=Vi - g.t - k.&.S.V.V.t/m
y llamando q=k.&.S./m
V=Vi - g.t - q.V.V.t
Como usted puede ver queda la velocidad en función del tiempo y de la misma velocidad al cuadrado (V.V) Multiplcada por el tiempo
Intente despejar V en función de t pero no pude
¿Esta bien el planteo matemático?
¿O hay que recurrir a un planteo de ecuaciones diferenciales?
Intente resolverlo numéricamente y logre una aproximación usando Exel, pero me interesa la solución analítica ya que esta modelización me resolvería varios problemas similares. ¡Y no hablemos si quisiera introducir la variación de la densidad & en función de la altura!
1 Respuesta
Respuesta de mikel1970
1
Tu planteamiento es incorrecto, y ahora veremos el por qué.
De todas formas, si fuera correcto, no tendrías más que despejar V en la ecuación de segundo grado que te queda:
V=Vi-g*t-q*V^2*t
q*t*V^2+V+g*t-Vi=0
ecuación de segundo grado con coeficientes
a=q*t
b=1
c=g*t-Vi
y soluciones
V=[-1+-raiz[1-4*q*t*(g*t-Vi)]]/[2*q*t]
Sólo tiene sentido la raiz positiva, pues la otra nos hace V<0 siempre
V=[-1+raiz[1-4*q*t*(g*t-Vi)]]/[2*q*t]
De todas formas el planteamiento no es correcto, pues la fórmula que usas
V=Vi-g*t
es solución de la ecuación diferencial tomando a=cte
Es decir, en física sólo hay unas pocas definiciones, y luego fórmulas que sólo valen para ese caso concreto.
La aceleración se define como la derivada respecto al tiempo de la velocidad, luego
a=dV/dt
dV=a*dt
Y esto es así siempre. Hemos de resolver la ecuación diferencial, y por ejemplo si a=cte, al integrar
Int[dV]=Int[a*dt] si a=cte, sale fuera de la integral
V-Vi=a*Int[dt]
V-Vi=a*t
V=Vi+a*t
Pero si a no es constante, la fórmula anterior no es válida.
Saquemos la fórmula válida.
Para ello también he de indicar que cometes otro fallo en tu fórmula: La fuerza de rozamiento no es proporcional al cuadrado de la velocidad, sino proporcional a la velocidad.
De todas formas trataremos de hacer los dos desarrollos, si bien en el caso de proporcional al cuadrado, la integral es un poco más complicada
1º Fuerza proporcional a la velocidad
-------------------------------------
En tal caso, la aceleración vertical es una gravedad constante y una proporcional a la velocidad y de sentido contrario
a=dV/dt=-g-K*V
dV=[-g-K*V]*dt
dV/[K*V+g]=-dt
Int[dV/(K*V+g)]=Int[-dt]=-t
Haciendo el cambio
z=K*V+g
dz=K*dV
dV=dz/K
Int[dz/(K*z)]=-t
(1/K)*Int[dz/z]=-t
Lnz|=-K*t
Ln(K*V+g)|=-K*t
Ln(K*V+g)-Ln(K*Vi+g)=-K*t
Ln[(K*V+g)/(K*Vi+g)]=-K*t
(K*V+g)/(K*Vi+g)=e^-(K*t)
K*V+g=(K*Vi+g)*e^-(K*t)
K*V=(K*Vi+g)*e^-(K*t)-g
V=(Vi+g/K)*e^-(K*t)-g/K
Que expresará la velocidad en función del tiempo.
Tienes un desarrollo similar en
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/stokes2/stokes2.htm
Si bien hay un fallo en un signo de Vy
...
Continúa
De todas formas, si fuera correcto, no tendrías más que despejar V en la ecuación de segundo grado que te queda:
V=Vi-g*t-q*V^2*t
q*t*V^2+V+g*t-Vi=0
ecuación de segundo grado con coeficientes
a=q*t
b=1
c=g*t-Vi
y soluciones
V=[-1+-raiz[1-4*q*t*(g*t-Vi)]]/[2*q*t]
Sólo tiene sentido la raiz positiva, pues la otra nos hace V<0 siempre
V=[-1+raiz[1-4*q*t*(g*t-Vi)]]/[2*q*t]
De todas formas el planteamiento no es correcto, pues la fórmula que usas
V=Vi-g*t
es solución de la ecuación diferencial tomando a=cte
Es decir, en física sólo hay unas pocas definiciones, y luego fórmulas que sólo valen para ese caso concreto.
La aceleración se define como la derivada respecto al tiempo de la velocidad, luego
a=dV/dt
dV=a*dt
Y esto es así siempre. Hemos de resolver la ecuación diferencial, y por ejemplo si a=cte, al integrar
Int[dV]=Int[a*dt] si a=cte, sale fuera de la integral
V-Vi=a*Int[dt]
V-Vi=a*t
V=Vi+a*t
Pero si a no es constante, la fórmula anterior no es válida.
Saquemos la fórmula válida.
Para ello también he de indicar que cometes otro fallo en tu fórmula: La fuerza de rozamiento no es proporcional al cuadrado de la velocidad, sino proporcional a la velocidad.
De todas formas trataremos de hacer los dos desarrollos, si bien en el caso de proporcional al cuadrado, la integral es un poco más complicada
1º Fuerza proporcional a la velocidad
-------------------------------------
En tal caso, la aceleración vertical es una gravedad constante y una proporcional a la velocidad y de sentido contrario
a=dV/dt=-g-K*V
dV=[-g-K*V]*dt
dV/[K*V+g]=-dt
Int[dV/(K*V+g)]=Int[-dt]=-t
Haciendo el cambio
z=K*V+g
dz=K*dV
dV=dz/K
Int[dz/(K*z)]=-t
(1/K)*Int[dz/z]=-t
Lnz|=-K*t
Ln(K*V+g)|=-K*t
Ln(K*V+g)-Ln(K*Vi+g)=-K*t
Ln[(K*V+g)/(K*Vi+g)]=-K*t
(K*V+g)/(K*Vi+g)=e^-(K*t)
K*V+g=(K*Vi+g)*e^-(K*t)
K*V=(K*Vi+g)*e^-(K*t)-g
V=(Vi+g/K)*e^-(K*t)-g/K
Que expresará la velocidad en función del tiempo.
Tienes un desarrollo similar en
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/stokes2/stokes2.htm
Si bien hay un fallo en un signo de Vy
...
Continúa
2º Fuerza proporcional al cuadrado
----------------------------------
El planteamiento es similar, si bien la integral es de tipo arcotangente
a=dV/dt=-g-K*V^2
dV/[K*V^2+g]=-dt
(1/g)*dV/[K/g*V^2+1]=-dt
dV/[K/g*V^2+1]=-g*dt
Int[dV/[K/g*V^2+1]]=Int[-g*dt]=-g*t
Haciendo
z^2=K/g*V^2
z=raiz(K/g)*V
dz=raiz(K/g)*dV
dV=raiz(g/K)*dz
Int[raiz(g/K)*dz/(z^2+1)]=-g*t
raiz(g/K)*Int[dz/(z^2+1)]=-g*t
Int[dz/(z^2+1)]=-g*raiz(K/g)*t
arctz|=-g*raiz(K/g)*t
arctg[raiz(K/g)*V]-arctg[raiz(K/g)*Vi]=-g*raiz(K/g)*t
arctg[raiz(K/g)*V]=arctg[raiz(K/g)*Vi]-g*raiz(K/g)*t
raiz(K/g)*V=tg[arctg[raiz(K/g)*Vi]-g*raiz(K/g)*t]
V=raiz(g/K)*tg[arctg[raiz(K/g)*Vi]-g*raiz(K/g)*t]
Que no sé si se podrá simplificar, pero nunca he visto esta fórmula.
Todo ésto es para el eje vertical, para el horizontal es más sencillo, pues la única aceleración es la de fricción, sin haber una aceleración constante como g.
Si quieres lo desarrollamos.
Sólo has de tener en cuenta que muchas de las fórmulas que vienen en los libros son fórmulas para casos particulares, y si cambiamos alguna condición, ya no pueden ser usadas.
----------------------------------
El planteamiento es similar, si bien la integral es de tipo arcotangente
a=dV/dt=-g-K*V^2
dV/[K*V^2+g]=-dt
(1/g)*dV/[K/g*V^2+1]=-dt
dV/[K/g*V^2+1]=-g*dt
Int[dV/[K/g*V^2+1]]=Int[-g*dt]=-g*t
Haciendo
z^2=K/g*V^2
z=raiz(K/g)*V
dz=raiz(K/g)*dV
dV=raiz(g/K)*dz
Int[raiz(g/K)*dz/(z^2+1)]=-g*t
raiz(g/K)*Int[dz/(z^2+1)]=-g*t
Int[dz/(z^2+1)]=-g*raiz(K/g)*t
arctz|=-g*raiz(K/g)*t
arctg[raiz(K/g)*V]-arctg[raiz(K/g)*Vi]=-g*raiz(K/g)*t
arctg[raiz(K/g)*V]=arctg[raiz(K/g)*Vi]-g*raiz(K/g)*t
raiz(K/g)*V=tg[arctg[raiz(K/g)*Vi]-g*raiz(K/g)*t]
V=raiz(g/K)*tg[arctg[raiz(K/g)*Vi]-g*raiz(K/g)*t]
Que no sé si se podrá simplificar, pero nunca he visto esta fórmula.
Todo ésto es para el eje vertical, para el horizontal es más sencillo, pues la única aceleración es la de fricción, sin haber una aceleración constante como g.
Si quieres lo desarrollamos.
Sólo has de tener en cuenta que muchas de las fórmulas que vienen en los libros son fórmulas para casos particulares, y si cambiamos alguna condición, ya no pueden ser usadas.
