Integrales de funciones holomorfas
Cuál es el valor máximo de la función:
$$\begin{align}&f(z)=e^z\end{align}$$Sobre la region
$$\begin{align}&|z-(1+i)|≤1\end{align}$$
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1 Respuesta
Amo Mo!
El principio del módulo máximo afirma que el módulo de una función holomorfa alzanza su máximo en la frontera del dominio. Yo creo que este ejercicio está hecho para aplicar eso.
La región es un disco de radio 1 centrado en el punto 1+i, la frontera es la circunferencia que limita dicho disco.
Haciendo z=x+ìy con x,y€R
$$\begin{align}&|e^z|=|e^{x+iy}|= |e^x(cosy+iseny)|=|e^x|=e^x\end{align}$$Como la función real de variable real e^x es creciente tendrá su máximo cuanto mayor sea x, tratándose de una circunferencia será el punto más a la derecha de ella. La circunferencia tiene radio 1 y el centro en el punto (1,1) del plano complejo, luego el punto más a la derecha es (2,1) y el valor máximo de x es 2
Luego el máximo es
e^2
Y se alcanza el el punto
z = 2+i
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. No olvides mandar la teoría, este lo pude resolver porque es fácil pero no puedo ir buscando la teoría necesaria para cada ejercicio, necesito llevar el mismo curso que estás dando tú.
