Resolución de sucesiones de matemática discreta
a) Encontrar el término general de cada sucesión.
b) Estudiar la monotonía de cada sucesión (decir si es creciente o decreciente)
c) Encontrar si las sucesiones son convergentes o divergentes, resolviendo su límite cuando tiende a infinito
d) Encuentrar las cotas (si existen) de las sucesiones.
Justificar sus respuestas. Cuando resuelva limites deje bien claro cuál es la indeterminación (si la hubiera) y como la resuelve.
Las sucesiones son:
a. 3/-1 ; 6/6 ; 11/25 ; 18/62 ; 27/123; ...
b. 4/-1 ; 7/2 ; 12/7 ; 19/14 ; 28/23; …
Tomamos por separado las sucesiones de numeradores y denominadores para calcular el término general.
No son sucesiones aritméticas, deberemos resolver ecuaciones en diferencias
a)
3, 6, 11, 18, 27
las diferencias primeras son
3,5,7,9
y las segundas
2,2,2
Luego la ecuación es
$$\begin{align}&(y_{t+2}-y_{t+1})-(y_{t+1}-y_t) = 2\\ & \\ & y_{t+2}-2y_{t+1}+y_t=2\\ & \\ & \text{resolvemos la homogénea}\\ & \\ & \lambda^2-2\lambda+1=0\\ & \\ & \lambda=1\; (raíz\;doble)\\ & \\ & y_t^h=C_1·1^t + C_2·t·1^t\\ &\\ &y_t^h = C_1+C_2·t\end{align}$$Y ahora hay que hallar una solución particular de la completa. La teoría dice que cuando 1 es raíz de la ecuación homogénea de orden n, y en el lado derecho hay un polinomio, se debe probar con un poliniomio de ese grado multiplicado por t^n.
Luego como 1 es raíz de orden 2, y el lado derecho es 2, un polinomio de grado 0, probaremos con un polinomio de grado 0 multiplicado por t^2, esto es, probaremos con At^2
$$\begin{align}&A(t+2)^2 - 2A(t+1)^2 + At^2 = 2\\ &\\ &At^2 + 4At + 4A - 2At^2 - 4At - 2A + At^2 = 2\\ &\\ &4A-2A = 2\\ &\\ &A=2\\ &\\ &\text{Y la solución general de la completa es}\\ &\\ &y_t=C_1+C_2\,t+t^2\\ &\\ &Para\; t=1\implies y_1=3\\ &C_1+C_2+1=3\\ &\\ &Para\;t=2\implies y_2=6\\ &C_1+2C_2+4=6\\ &\\ &restándolas\\ &\\ &C_2+3=3\\ &C_2=0\\ &C_1=2\\ &\\ &\text{Luego el término general es}\\ &a_t=t^2+2\end{align}$$¡Uff! Cuánto trabajo para esto cuando de haber pensado un poco se podría haber sacado a ojo de sencillo que es.
Antes de continuar dime si habéis dado esto que he hecho, porque si lo estoy haciendo y no lo habéis dado no isrve de nada y aparte ya ves que es complicado y más qu va a ser para calcular el término general de los denominadores. Asimismo la pregunta lleva mucho trabajo la tendreamos que trocear en varias.
Espero la contestación, saludos.
Luego la solución particular es t^2 y la solución general de la completa es
Espera, que tuve una errata y había texto que no había borrado, el final es así:
Asimismo la pregunta lleva mucho trabajo, la tendremos que trocear en varias.
Voy a progresar algo, hasta ahora fui lento pòrque tuve que repasar este tema que no es de los habituales.
Vamos con el término general del denominador.
La sucesión y diferencias son
-1, 6, 25, 62, 123
7, 19, 37, 61
12, 18, 24
6, 6
Luego las diferencias terceras son constantes, la ecuación que representa esto es
$$\begin{align}&[(y_{t+3}-y_{t+2}) -(y_{t+2}-y_{t+1})]-[(y_{t+2}-y_{t+1})-(y_{t+1}-y_t)]=\\ &\\ &y_{t+3}-3y_{t+2}+3y_{t+1}-y_t=6\\ &\\ &\text {La ecuación homogénea es}\\ &\\ &x^3-3x^2+3x+1 = (x-1)^3=0\\ &\\ &\text{Luego la solución general de la homogénea es}\\ &\\ &y_t^h=C_1+C_2·t+C_3·t^2\\ &\\ &\text{Y para la particular hay que probar con }At^3\\ &\\ &A(t+3)^3-3A(t+2)^3+3A(t+1)^3-At^3=6\\ &\\ &At^3+9At^2+27At +27A - 3At^3-18At^2-36At-24A+\\ &3At^3+9At^2+9At+3A -At^3 = 6\\ &\\ &0At^3+0At^2+0t+6A=6\\ &\\ &6A=6\\ &\\ &A=1\\ &\\ &\text{Y la solución general de la completa es}\\ &\\ &y_t=C_1+C_2t+C_3t^2+t^3\\ &\\ &Para\; t=1\implies y_1=-1\\ &C_1+C_2+C_3+1=-1\\ &\\ &Para\;t=2\implies y_2=6\\ &C_1+2C_2+4C_3+8=6\\ &\\ &Para \;t=3\implies y_3=25\\ &C_1+3C_2+9C_3+27=25\\ &\\ &\text{restando primera a la segunda}\\ &\\ &C_2+3C_3+7=7\implies C_2+3C_3=0\\ &\\ &\text{restando primera a la tercera}\\ &2C_2+5C_3+19=19\implies 2C_2+5C_3=0\\ &\\ &\text{La solución de esas dos es}\\ &C_2=C_3=0\\ &C_1+8=6\implies C_1=-2\\ &\\ &\text{Y el termino general del denominador es}\\ &\\ &b_t=t^3-2\end{align}$$Otra vez me queda la impresión de haber trabajado en exceso para algo que puede verse a simple vista, pero este el métod general que para otras sucesiones más complicadas puede ser imprescindible.
Con todo esto el término general es
$$\begin{align}&x_n=\frac{n^2+2}{n^3-2}\end{align}$$b)
Veamos la diferencia entre términos contiguos para ver la monotonía
$$\begin{align}&x_{n+1}-x_n=\frac{(n+1)^2+2}{(n+1)^3-2}-\frac{n^2+2}{n^3-2}=\\ & \\ & \frac{n^2+2n+3}{n^3+3n^2+3n-1}-\frac{n^2+2}{n^3-2}=\\ & \\ & \frac{n^5+2n^4+3n^3-2n^2-4n-6-n^5-3n^4-3n^3+n^2-2n^3-6n^2-6n+2}{[(n+1)^3-2](n^3-2)}=\\ & \\ & \frac{-n^4-2n^3-7n^2-10n-4}{[(n+1)^3-2](n^3-2)}=\\ & \\ & \frac{-(n^4+2n^3+7n^2+10n+4)}{[(n+1)^3-2](n^3-2)}=\end{align}$$El numerador es siempre negativo obviamente ya que n>=1
Y el denominador para n=1 es
(2^3-2)(1-2) = -6
Y para n>1 ya son positivos los dos factores y es positivo
Luego la diferencia es positiva para n=1 y negativa para n>1
Resumiendo, es creciente entre el primer y segundo término y después es monótona decreciente
c)
El límite cuando x tiende a intinito es
$$\begin{align}&\lim_{n\to \infty}\frac{n^2+2}{n^3-2}=0\\ &\\ &\text{por ser mayor el grado del denominador}\\ &\\ &\text{Si eso no te sirve demuéstralo así}\\ &\\ &\lim_{n\to \infty}\frac{n^2+2}{n^3-2}= \lim_{n\to \infty}\frac{\frac{n^2+2}{n^3}}{\frac{n^3-2}{n^3}}=\\ &\\ &\lim_{n\to \infty}\frac{\frac 1n+\frac{2}{n^3}}{1-\frac{2}{n^3}}=\frac{0+0}{1-0}=\frac 01 =0\\ &\end{align}$$d) Siendo monótona decreciente tras el primer término las cotas estáran en el primer término, en el segundo o en el límite en infinito
x(1)= -3
x(2) = 1
x(oo) = 0
Luego la cota inferior es -3 y la superior 1
Y eso es toldo, esepro que te sirva y lo hayas entendido. Si quieres que haga el otro ejercicio mándalo en otra pregunta tras puntuar esta.
