¿Cómo buscar subespacios invariantes en el ejemplo?
Hola Valero.
No había podido preguntar, pues me fallaba con Chrome, pero al parecer con IE si funcióna mejor esto. Me dan una matriz que es la siguiente
0 1 0
2- 2 2
2 -3 2
Me piden hallar TODOS los subespacios invariantes. {0} es uno de ellos ¿no?. También hay otro, pero no estoy seguro, si es R^3 o... ? También debo buscar subespacios invariantes distintos a ellos, buscando vectores propios. Det(A - xI) = 0, si x = lamda = 0 con multiplicidad 3. Luego para ese valor, me da un sólo vector propio, o sea, (-1, 0, 1), pero al comprobar multiplicando la matriz por ese vector, me doy cuenta que ni siquiera es invariante W = gen{(-1, 0, 1)}.
Espero su ayuda Valero!
1 Respuesta
He podido realizar el ejercicio. Lo que no sé es si esté bien 100%. Lo que pasa es que nohe visto libros donde venga teoría sobre eso, pues son cosas que la maestra me va diciendo. Si tenemos una matriz de transformacion que va de V -> V, un teorema dice que los subespacios generados por los vectores propios de DIMENSION 1 son invariantes. Si un subespacio es generado por 2 vectores o más, entonces lo "partes", de tal manera que tengas sólo subespacios de dimension 1, o sea, generados por un sólo vector propio asociado a un valor propio. También el vector cero es invariante efectivamente, junto con el espacio vectorial V.
Si, más o menos con lo de los vectores propios se va decubriendo todo porque un vector propio es uno que se tranforma en otro de su mismo espacio, por lo tanto es invariante. Pero lo que no tenía claro era la definición de subespacio invariante. Si es un espacio que se transforma en si mismo está claro. Pero es que leí por los sitios que era un espacio cuya imagen estaba incluida en el propio espacio. Entonces me asaltó la duda de si un plano que se transforma en una recta del propio espacio, es un espacio invariante. Y por eso quería estar seguro y si me pasabas la teoría hubiera contestado con seguridad total.
| -x 1 0 |
| 2 -2-x 2 | = 0
| 2 -3 2-x|
x(2+x)(2-x) + 4 - 2(2-x) - 6x = 0
x(4-x^2) + 4 - 4 +2x - 6x = 0
4x -x^3 -4x = 0
-x^3 = 0
Vaya, es un solo valor propio de multiplicidad 3
Veamos los valores propios
0 1 0 | 0
2 -2 2 | 0
2 - 3 2 | 0
sobra la tercera ecuación, es la segunda menos la primera
El vector propio tiene
y=0
x=-z
es (1, 0, -1)
Solo hay un vector propio, luego un único espacio invariante, el generado por
(1, 0, -1)
es decir
{(a,0,-a) | a € R}}
Y eso es todo.
