Problema de física (electricidad y magnetismo)
Tengo una duda con la resolución de un problema de física. ¿Podéis ayudarme?. Preferiría una explicación sobre la forma de solucionarlo.
Sea la función escalar U=az, donde a es una constante igual a 2N, y z es la coordenada z del punto, expresada en m. La función está definida en los puntos de una región del espacio. Para esos puntos, se cumple que el campo vectorial 
es igual a la fuerza que experimenta cierto punto material en cada uno de los puntos. Se pide calcular la fuerza en el punto (1,1,1), e indicar a continuación el valor de su proyección sobre la dirección (y sentido) del vector unitario
. Expresar el valor de dicha proyección en N.
http://moodle.upm.es/titulaciones/oficiales/file.php/1885/Imagenes/01.3-VectorUnitarioRampa.JPG
2 respuestas
Te he enviado el dibujo
$$\begin{align}&F = -grad.U = -G.U = -G.f(x,y,z) = -( \frac{dU}{dx} , \frac{dU}{dy} , \frac{dU}{dz} ) = -( \frac{dU}{dx} i+ \frac{dU}{dy} j+ \frac{dU}{dz} k)\\ & para.este .caso... f(x,y.z) = U = a.z\\ &entonces....F = -G.U = - ( 0, 0, a ) = -a .k\\ &en ....P = (1,1,1) - --> F(1,1,1) = - ( 0, 0, 2N) = -2N .k\\ &(i, j, k) ..vectores.unitarios\end{align}$$G = simbolo Nabla (que no se representar en el editor de ecuaciones)
La segunda partes:
$$\begin{align}&D_û.p = D_û.(x,y,z) = G.f(x,y,z).ü = G.f(x,y,z).(ü_x, ü_y, ü_z) \\ & donde, ü .es vector.normal.de .û\\ & entendiendo .û = \frac {1}{\sqrt 2}(ûx,0,-ûz) = \frac {1}{\sqrt 2}(1,0,-1) \\ & entonces...\\ & G.f(x,y,z).(ü_x, ü_y, ü_z) = (0,0,a). (\frac {1}{\sqrt 2}, 0, -\frac {1}{\sqrt 2}) = -\frac {a}{\sqrt 2} \\ &como.a=2N\\ &G.U.û = -\frac {2}{\sqrt 2} = -\sqrt 2 \end{align}$$
El gradiente de la función escalar U(x, y, z) se define así
$$\begin{align}&\vec {grad\, U}=\frac{\partial U}{\partial x}\vec i+\frac{\partial U}{\partial y}\vec j+\frac{\partial U}{\partial z}\vec k\\ &\\ &\vec {grad\, 2z}= 2\vec k\\ &\\ &-\vec {grad\, U}=-2\vec k\end{align}$$Luego la fuerza F en el punto (1,1,1) sera
-grad U(1,1,1) =-2k
Espera, confírmame si 2N quiere decir 2 Newton o N es otra constante.
Continuo suponiendo que son Newton
El vector unitario que nos dicen en coordenadas cartesianas es
$$\begin{align}&\vec u_t=\frac{1}{\sqrt 2}(\vec u_x-\vec u_z)=\frac{1}{\sqrt 2}[(1,0,0)-(0,0,1)]=\\ &\\ &\frac 1{\sqrt 2}(1,0,-1)\\ &\\ &\text{Mientras que }\\ &\\ &\vec F=(0,0,-2)\\ &\\ &\text{La fórmual de la proyección vectorial de u sobre v es}\\ &\\ &Proy_{\vec u}\vec v=\frac{\vec u·\vec v}{\vec u ·\vec u}\vec v=\\ &\\ &\frac{\frac{1}{\sqrt 2}(0,0,-2)·(1,0,-1)}{\frac 1{\sqrt 2}·\frac{1}{\sqrt 2}(1,0,-1)·(1,0,-1)}·\frac{1}{\sqrt 2}(1,0,-1)=\\ &\\ &\frac{\frac{1}{\sqrt 2}·2}{\frac 12·2}·\frac{1}{\sqrt 2}(1,0,-1)=1·(1,0,-1)=(1,0,-1)\\ &\\ &\text{Y ahora llámalo como quieras}\\ &\\ &\vec p=(1,0,-1)\\ &\vec p= \vec i - \vec k\\ &\vec p = \vec u_x-\vec u_z\end{align}$$Si lo que te piden no es el vector sino su módulo es
$$\begin{align}&|\vec p| = \sqrt 2\end{align}$$Y eso es todo.
Cuántas veces me dejo las unidades, deformación matemática, es:
$$\begin{align}&|\vec p| = \sqrt 2 \;N\end{align}$$
Espera que lo hago de otra forma, quizá lo he hecho demasiado en plan álgebra lineal abstracta. Lo que he calculado es la proyección vectorial, pero seguramente te preguntaban la proyección escalar que es esta
$$\begin{align}&p = \frac{\vec F·\vec u_t}{||u_t||}\\ & \\ & \text{como }\vec u_t \text{es unitario}\\ & \\ & p = \vec F·\vec u_t=(0,0,-2N)·\left(\frac{1}{\sqrt 2},0,-\frac{1}{\sqrt 2}\right)=\frac{2N}{\sqrt 2}= \sqrt 2N\end{align}$$Y esa proyección indica la longitud del vector proyección que es raíz de 2 y al ser positiva indica que el sentido del vector proyección es el mismo que el de u sub t.
La gráfica puede hacerse sobre un plano ya que los dos vectores están sobre el plano XZ ya que su coordenada enY es 0
Y eso es todo.