Encontrar el valor del parámetro para que el sistema resulte C.D., C.I., INC.

Si el determinante es distinto de 0 será un sistema compatible determinado. Si es cero es cuando podrá ser compatible indeterminado o incompatible y habra que estudiar los casos.

Luego lo primero es hallar el determinante de la matriz de coeficientes

| 1   m   1 |

| m  0    2 |   = 2m + m - m^2 - 2 = -m^2 + 3m -2 

| 1   1    1 |  

·

Para saber si vale 0 calcularemos las raíces, pero de la ecuación con los signos cambiados, creo que nunca en la vida he resulelto una ecuación de segundo grado con el coeficiente de x^2 negativo

m^2 - 3m + 2 = 0

$$\begin{align}&m=\frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2}=\frac{3\pm 1}{2}=1\; y\; 2\end{align}$$

Luego ya podemos decir que para todos los valores de k salvo 1 y 2 el sistema es compatible determinado

Y ahora estudiamos los dos casos poniendo la matriz completa, primero para m=1

1   1   1 | 2

1   0   2 | 4

1   1   1 | 2

·

la tercera matriz sobra ya que es la misma que la primera. s.

·

1   1   1 | 2

1   0   2 | 4

0   0   0 | 0

·

Y con las filas primera y segunda no hace falta seguir, va a ser imposible conseguir otra fila más con todo ceros en la matriz de coeficientes. Nos queda un sistema con rango 2 en la matriz de coeficentes y rango 2 en la matriz ampliada, luego es compatible determinado con un parámetro,

Si tomamos z como parametro tendremos en la segunda ecuación

x +2z =4

x = 4-2z

y en la primera

4 - 2z + y + z = 2

4 - z + y = 2

y = z - 2

Luego la solución es

x = 4 - 2z

y = z -2

z = z

Para todo z € R

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Y ahora vamos con el caso m=2

·

1   2    1 |  2

2   0    2 |  4

1   1    1 |  2

·

Sumamos la primera por (-2) a la segunda y por (-1) a la tercera

1   2    1 |  2

0  -4    0 |  0

0  -1    0 |  0

·

Y la segunda por (-1/4) se suma a la tercera

·

1   2    1 |  2

0  -4    0 |  0

0   0    0 |  0

·

Ya no se pueden hacer más filas con todo 0 en la matriz de coeficientes, Y ha quedado que el rango de la matriz de coeficientes es 2 y el de la ampliado también es 2. Luego es un sistema compatible determinado con un parámetro.

La solución es :

De la segunda se deduce

y=0

Tomamos z como parámetro y de la primera se decuce

x + 0 + z = 2

x= 2-z

con lo cual la solución es:

x=z

y=0

z=z

para todo z € R

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Luego en resumen

Compatible determinado si m € R - {1, 2}

Compatible inderterminado si m € {1, 2}

·

Y eso es todo.